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《數(shù)列前n項(xiàng)和求和方法集錦(錯(cuò)位相加法,分組求和法等)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、一.求和方法大集錦1.分組求和法:就是將數(shù)列的項(xiàng)分成二項(xiàng)，而這兩項(xiàng)往往是常數(shù)或是等差（比）數(shù)列，它們的和當(dāng)然就好求了。例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的話，可以將通項(xiàng)(2^n-1)/(2^n)寫成1-2^(-n)這樣就變成每一項(xiàng)都是1-X（X為通項(xiàng)）的公式對(duì)于通項(xiàng)-2^(-n)是一個(gè)等比數(shù)列，這個(gè)你就可以直接套用公式了2.數(shù)列累加法(1)逐差累加法例3已知a1=1,an+1=an+2n求an解：由遞推公式知：a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…an-an-1=2n-1將以上n-1個(gè)式子相加可得an=a1+2+22+23+
2、24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：對(duì)遞推公式形如an+1=an+f(n)的數(shù)列均可用逐差累加法求通項(xiàng)公式，特別的，當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，數(shù)列即為等差數(shù)列。(2)逐商疊乘法例4已知a1=1,an=2nan-1(n≥2)求an解：當(dāng)n≥2時(shí)，=22,=23,=24,…=2n將以上n-1個(gè)式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2當(dāng)n=1時(shí)，a1=1滿足上式故an=2(n∈N*)注：對(duì)遞推公式形如an+1an=g(n)的數(shù)列均可用逐商疊乘法求通項(xiàng)公式，特別的，當(dāng)g(n)為常數(shù)時(shí)，數(shù)列即為等比數(shù)列3.裂項(xiàng)求和當(dāng)一項(xiàng)可以拆時(shí)需要注意是否為了考察裂項(xiàng)求和，最有名的
3、就是分?jǐn)?shù)：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆為1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你會(huì)發(fā)現(xiàn)從-1/2到1/n全部能想消掉，故只剩下首項(xiàng)和末項(xiàng)。4.倒序相加最簡(jiǎn)單的是等差數(shù)列用倒序相加求和：1到91+9=102+8=10。。。所以便有首項(xiàng)加末項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)(裂項(xiàng)）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100(消元）=2-1/100=199/1005.錯(cuò)
4、位相減這個(gè)可以求出和與求通項(xiàng)公式和首相的關(guān)系，常用與等比數(shù)列，Sn乘上q（等比的比例常數(shù)）如：Sn（數(shù)列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1)用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1這就得出了總和與通項(xiàng)式的關(guān)系。分組求和：此為裂項(xiàng)求和的反運(yùn)算，但是沒(méi)有裂項(xiàng)求和用的頻繁，那個(gè)是有分式首先就想到裂項(xiàng)求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n實(shí)際上可以看成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列，但有時(shí)混在一起而且條件不充分時(shí)不容易發(fā)現(xiàn)。二.數(shù)列概念大綜合1.一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=s1(n=1)an=Sn=Sn-1(n≥2
5、)錯(cuò)位相減：這個(gè)可以求出和與求通項(xiàng)公式和首相的關(guān)系，常用與等比數(shù)列，Sn乘上q（等比的比例常數(shù)）如：Sn（數(shù)列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1)用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1這就得出了總和與通項(xiàng)式的關(guān)系。
2.分組求和：此為裂項(xiàng)求和的反運(yùn)算，但是沒(méi)有裂項(xiàng)求和用的頻繁，那個(gè)是有分式首先就想到裂項(xiàng)求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n實(shí)際上可以看成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列，但有時(shí)混在一起而且條件不充分時(shí)不容易發(fā)現(xiàn)。
3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1為首項(xiàng)、ak為
6、已知的第k項(xiàng))當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=Sn=Sn=當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。5、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn-1an=akqn-k(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1(是關(guān)于n的正比例式)；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=Sn=三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論7、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列。8、等差數(shù)列{a
7、n}中，若m+n=p+q，則9、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則10、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列。11、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。12、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列{anbn}、、仍為等比數(shù)列。13、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
