數(shù)列前n項和求和方法集錦(錯位相加法,分組求和法等)

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1、一.求和方法大集錦1.分組求和法:就是將數(shù)列的項分成二項，而這兩項往往是常數(shù)或是等差（比）數(shù)列，它們的和當然就好求了。例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的話，可以將通項(2^n-1)/(2^n)寫成1-2^(-n)這樣就變成每一項都是1-X（X為通項）的公式對于通項-2^(-n)是一個等比數(shù)列，這個你就可以直接套用公式了2.數(shù)列累加法(1)逐差累加法例3已知a1=1,an+1=an+2n求an解：由遞推公式知：a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…an-an-1=2n-1將以上n-1個式子相加可得an=a1+2+22+23+

2、24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：對遞推公式形如an+1=an+f(n)的數(shù)列均可用逐差累加法求通項公式，特別的，當f(n)為常數(shù)時，數(shù)列即為等差數(shù)列。(2)逐商疊乘法例4已知a1=1,an=2nan-1(n≥2)求an解：當n≥2時，=22,=23,=24,…=2n將以上n-1個式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2當n=1時，a1=1滿足上式故an=2(n∈N*)注：對遞推公式形如an+1an=g(n)的數(shù)列均可用逐商疊乘法求通項公式，特別的，當g(n)為常數(shù)時，數(shù)列即為等比數(shù)列3.裂項求和當一項可以拆時需要注意是否為了考察裂項求和，最有名的

3、就是分數(shù)：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆為1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你會發(fā)現(xiàn)從-1/2到1/n全部能想消掉，故只剩下首項和末項。4.倒序相加最簡單的是等差數(shù)列用倒序相加求和：1到91+9=102+8=10。。。所以便有首項加末項乘以項數(shù)除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)(裂項）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100(消元）=2-1/100=199/1005.錯

4、位相減這個可以求出和與求通項公式和首相的關(guān)系，常用與等比數(shù)列，Sn乘上q（等比的比例常數(shù)）如：Sn（數(shù)列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1)用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1這就得出了總和與通項式的關(guān)系。分組求和：此為裂項求和的反運算，但是沒有裂項求和用的頻繁，那個是有分式首先就想到裂項求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n實際上可以看成兩個或多個數(shù)列，但有時混在一起而且條件不充分時不容易發(fā)現(xiàn)。二.數(shù)列概念大綜合1.一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=s1(n=1)an=Sn=Sn-1(n≥2

5、)錯位相減：這個可以求出和與求通項公式和首相的關(guān)系，常用與等比數(shù)列，Sn乘上q（等比的比例常數(shù)）如：Sn（數(shù)列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1)用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1這就得出了總和與通項式的關(guān)系。 2.分組求和：此為裂項求和的反運算，但是沒有裂項求和用的頻繁，那個是有分式首先就想到裂項求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n實際上可以看成兩個或多個數(shù)列，但有時混在一起而且條件不充分時不容易發(fā)現(xiàn)。 3、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1為首項、ak為

6、已知的第k項)當d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當d=0時，an是一個常數(shù)。4、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=Sn=Sn=當d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。5、等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn-1an=akqn-k(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)6、等比數(shù)列的前n項和公式：當q=1時，Sn=na1(是關(guān)于n的正比例式)；當q≠1時，Sn=Sn=三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論7、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列。8、等差數(shù)列{a

7、n}中，若m+n=p+q，則9、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則10、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列。11、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。12、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列{anbn}、、仍為等比數(shù)列。13、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。