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《多元函數(shù)微分學(xué)》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§8.6微分法在幾何中的應(yīng)用一.空間曲線的切線與法平面二.曲面的切平面與法線曲線的切向量、法平面曲面的切平面、曲面的法線、曲面的法向量一.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t),y?y(t),z?w(t)這里假定?(t),y(t),w(t)都可導(dǎo).考慮當(dāng)M??M,即?t?0時(shí).,,xyzOMM??其方程為過曲線?上t?t0和t?t0??t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M和M?,作曲線的割線MM?,一.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t),y?y(t),z?w(t)這里假定?(t),y(t),w(t)都可導(dǎo).
2、xyzOMM?過曲線?上t?t0和t?t0??t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M和M?,作曲線的割線MM?,考慮當(dāng)M??M,即?t?0時(shí).,,其方程為一.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t),y?y(t),z?w(t)這里假定?(t),y(t),w(t)都可導(dǎo).xyzOMM?過曲線?上t?t0和t?t0??t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M和M?,作曲線的割線MM?,考慮當(dāng)M??M,即?t?0時(shí).,,其方程為一.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t),y?y(t),z?w(t)這里假定?(t),y(t),w(t)都可導(dǎo).xyzO
3、MM?過曲線?上t?t0和t?t0??t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M和M?,作曲線的割線MM?,考慮當(dāng)M??M,即?t?0時(shí).,,其方程為一.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為x??(t),y?y(t),z?w(t)這里假定?(t),y(t),w(t)都可導(dǎo).xyzOM.得曲線在點(diǎn)M處的切線方程為過曲線?上t?t0和t?t0??t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M和M?,作曲線的割線MM?,考慮當(dāng)M??M,即?t?0時(shí).,,其方程為就是曲線?在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量.曲線的切向量:切線的方向向量稱為曲線的切向量.向量通過點(diǎn)M而與切線垂直的平面稱為曲線?在點(diǎn)M處
4、的法平面,法平面:xyzOM法平面方程為j?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?w?(t0)(z?z0)?0.解因?yàn)閤t??1,yt??2t,zt??3t2,而點(diǎn)(1,1,1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t?1,所以例1求曲線x?t,y?t2,z?t3在點(diǎn)(1,1,1)處的切線及法平面方程.于是,切線方程為法平面方程為(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0,即x?2y?3z?6..提示:曲線的參數(shù)方程為:x?x,y?j(x),z?y(x))切向量為討論:1.若曲線的方程為y?j(x),z?y(x).問其切線和法平面方程是什么形
5、式??{1,j?(x0),y?(x0)}.2.若曲線的方程為F(x,y,z)?0,G(x,y,z)?0.問其切線和法平面方程又是什么形式?提示:兩個(gè)方程確定了兩個(gè)隱函數(shù):y?j(x),z?y(x),切向量為?{1,,}.例2求曲線x2?y2?z2?6,x?y?z?0在點(diǎn)(1,?2,1)處的切線及法平面方程.解為求切向量將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得解得,.??1.?0,所求切線方程為法平面方程為(x?1)?0·(y?2)?(z?1)?0,即x?z?0..二.曲面的切平面與法線設(shè)曲面?:F(x,y,z)?0,M(x0,y0,z0
6、)是?上的一點(diǎn).考慮F[?(t),y(t),w(t)]=0兩邊在t?t0的全導(dǎo)數(shù):Fx(x0,y0,z0)j?(t0)?Fy(x0,y0,z0)y?(t0)?Fz(x0,y0,z0)w?(t0)?0.可見向量xyzO?M?在?上,通過點(diǎn)M任意引一條曲線?,其參數(shù)方程式為x??(t),y?y(t),z?w(t);x0??(t0),y0?y(t0),z0?w(t0).二.曲面的切平面與法線設(shè)曲面?:F(x,y,z)?0,M(x0,y0,z0)是?上的一點(diǎn).考慮F(x,y,z)=0兩邊在t?t0的全導(dǎo)數(shù):Fx(x0,y0,z0)j?
7、(t0)?Fy(x0,y0,z0)y?(t0)?Fz(x0,y0,z0)w?(t0)?0.可見向量xyzO?M?在?上,通過點(diǎn)M任意引一條曲線?,其參數(shù)方程式為x??(t),y?y(t),z?w(t);x0??(t0),y0?y(t0),z0?w(t0).二.曲面的切平面與法線設(shè)曲面?:F(x,y,z)?0,M(x0,y0,z0)是?上的一點(diǎn).考慮F(x,y,z)=0兩邊在t?t0的全導(dǎo)數(shù):Fx(x0,y0,z0)j?(t0)?Fy(x0,y0,z0)y?(t0)?Fz(x0,y0,z0)w?(t0)?0.可見向量xyzO?M
8、?在?上,通過點(diǎn)M任意引一條曲線?,其參數(shù)方程式為x??(t),y?y(t),z?w(t);x0??(t0),y0?y(t0),z0?w(t0).曲面?上通過點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱為曲面?在點(diǎn)M的切平面.這切平面的方程式是Fx(x0,y0,z0