極限與連續(xù)地62個(gè)典型習(xí)地的題目

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔極限與連續(xù)的62個(gè)典型習(xí)題習(xí)題1設(shè)，求.解記，則有，.另一方面.因?yàn)?，?利用兩邊夾定理，知，其中.例如.習(xí)題2求.解,即..利用兩邊夾定理知.　精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔習(xí)題3　求.解習(xí)題4　求.解（變量替換法）令，則當(dāng)時(shí)，于是,原式.習(xí)題5求.解（變量替換法）令，原式.習(xí)題6求(型)。為了利用重要極限，對(duì)原式變形精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔習(xí)題7求　.解原式.習(xí)題8　求.解由于.而.故不存在。習(xí)題9　研究下列極限（1）.∵　原式，其中，.∴上式極限等于0，即.（2）.精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔因?yàn)椤。?所以.（3）.原式.習(xí)題10　計(jì)算.解原式.習(xí)題

2、11.習(xí)題12已知，求的值。解首先，∴原式，∴，而.習(xí)題13下列演算是否正確？.習(xí)題14求.解原式精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔.習(xí)題15求.解∵，，原式=0.習(xí)題16證明（為常數(shù)）。證（令）.習(xí)題17求.解原式.習(xí)題18求.解(連續(xù)性法)原式.精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔習(xí)題19試證方程（其中）至少有一個(gè)正根，并且它不大于.證設(shè)，此初等函數(shù)在數(shù)軸上連續(xù)，在上必連續(xù)。∵而若，則就是方程的一個(gè)正根。若，則由零點(diǎn)存在定理可知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.即故方程至少有一正根，且不大于.習(xí)題21求.解原式.習(xí)題20設(shè)滿足且試證證取使得當(dāng)時(shí)有即亦即于是遞推得從而由兩邊夾準(zhǔn)則有習(xí)題

3、22用定義研究函數(shù)的連續(xù)性。證首先，當(dāng)是連續(xù)的。同理，當(dāng)精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔也是連續(xù)的。而在分段點(diǎn)處故習(xí)題23求證.證∵，而.由兩邊夾定理知，原式成立.習(xí)題24設(shè)任取記試證存在，并求極限值。證故由題設(shè)由于故單調(diào)有下界，故有極限。設(shè)精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔由解出（舍去）。習(xí)題25設(shè)求解顯然有上界，有下界當(dāng)時(shí)即假設(shè)則故單增。存在。設(shè)則由得即（舍去負(fù)值）。當(dāng)時(shí)，有用完全類似的方法可證單減有下界，同理可證習(xí)題26設(shè)數(shù)列由下式給出求解不是單調(diào)的，但單增，并以3為上界，故有極限。設(shè)單減，并以2為下界，設(shè)在等式兩邊按奇偶取極限，得兩個(gè)關(guān)系，解出由于的奇數(shù)列與偶數(shù)列

4、的極限存在且相等，因此精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔的極限存在，記于是故有解出（舍去負(fù)值）習(xí)題27設(shè)試證收斂，并求極限。證顯然假設(shè)則由，可解出（舍去）。下面證明收斂于由于，遞推可得由兩邊夾可得故習(xí)題28設(shè)試證（1）存在；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，證顯然有又單減有下界。收斂。令在原式兩邊取極限得由此可解出或當(dāng)時(shí)，歸納假設(shè)則而，有因此時(shí)即時(shí)）。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔當(dāng)時(shí)，由的單減性便知即當(dāng)時(shí)，即（當(dāng)時(shí)）。習(xí)題29習(xí)題30若收斂，則證收斂，設(shè)故必有界。設(shè)因此而習(xí)題31求變量替換求極限法（為求有時(shí)可令而）習(xí)題32求（為自然數(shù)）解令則因此習(xí)題33求解令且當(dāng)時(shí)故原式精彩文案實(shí)用

5、標(biāo)準(zhǔn)文檔習(xí)題34求解先求令則上式故原式用等價(jià)無窮小替換求極限習(xí)題35求解記原式==習(xí)題36設(shè)與是等價(jià)無窮小，求證（1）（2）證即其中故精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（2）習(xí)題37設(shè)為自然數(shù)，試證使證（分析：要證使即要證有根）令，顯然在上連續(xù)，于是記則又對(duì)函數(shù)應(yīng)用介值定理，知使即存在使習(xí)題38設(shè)證明使精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔證（分析：將結(jié)果變形）記則于是或由介值定理知即習(xí)題39設(shè)且證使證反證法。若不存在點(diǎn)使即均有連續(xù)，不妨設(shè)恒有于是此與矛盾。故使習(xí)題40設(shè)且又證明至少有一點(diǎn)使證故在上有最大值和最小值,使于是由介值定理，知使習(xí)題41證明方程至少有一個(gè)小于1的正根。

6、證設(shè)顯然但使即方程至少有一個(gè)小于1的正根存在。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔習(xí)題42設(shè)連續(xù)，求解故由于在=1，-1處連續(xù)，所以習(xí)題43試證方程至少有一個(gè)實(shí)根。證做函數(shù)顯然使即在內(nèi)必有實(shí)根。習(xí)題44求的連續(xù)區(qū)間。（解：先改寫為分段函數(shù)，結(jié)論為：習(xí)題45求為何值時(shí)，函數(shù)，在上處處連續(xù)。只需討論分段點(diǎn)處的連續(xù)性：要在處連續(xù)，必有精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔習(xí)題46設(shè)，定義求解有下界即有又，即單減有下界，故有極限。設(shè)且有有（舍去負(fù)根）（注意：先證明極限的存在是必要的。）習(xí)題47（解：?jiǎn)卧鲇猩辖?，可解出極限）習(xí)題48設(shè)且證明使證若則取若則可取則令必有且由零點(diǎn)定理知使即習(xí)題4

7、9(選擇題)設(shè)在內(nèi)有定義，連續(xù)且有間斷點(diǎn)，則(A)必有間斷點(diǎn)，(B)必有間斷點(diǎn)，(C)必有間斷點(diǎn)，(D)必有間斷點(diǎn).精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解選[D]（(A)因的值域可能很小。(B)反例而無間斷點(diǎn)。(C)總有定義。習(xí)題50證明方程至少有一個(gè)正根，且不超過證設(shè)而如果則即為的零點(diǎn).如果則由介值定理知使即為所求,故原命題成立.習(xí)題51若函數(shù)可以達(dá)到最大值和最小值，求證證設(shè)則對(duì)任意有或有由的任意性，可知習(xí)題52設(shè)且恒大于零，證明在上連續(xù).證任取由于在處連續(xù)且大于使當(dāng)時(shí)（若為左端點(diǎn)，則應(yīng)為類似處理有精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔可找到使當(dāng)時(shí)有取則當(dāng)時(shí)，有故知在處連續(xù)。由

8、的任意性，知在上連續(xù).習(xí)題53設(shè)試討論在處的連續(xù)性.解時(shí)，在處連續(xù)，時(shí)，為的跳躍間斷點(diǎn)（第一類間斷點(diǎn)).當(dāng)時(shí)為第二間斷點(diǎn)。習(xí)題54設(shè)函數(shù)