求軌跡方程常用的方法汪雪芳

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1、求軌跡方程常用的方法汪雪芳　　軌跡方程，特別是圓錐曲線軌跡方程的求解內(nèi)容豐富，聯(lián)系廣泛.它既包括代數(shù)、幾何及三角等章節(jié)中的眾多基礎(chǔ)知識，又容納許多解題技巧，方法多、技巧性強、運算量大，是學習過程中的難點，同時也是高考命題中的熱點.解這類問題的方法大致有：（1）直接法；（2）待定系數(shù)法；（3）定義法；（4）代入轉(zhuǎn)移法；（5）參數(shù)法；（6）設(shè)而不求法.本文通過實例，從不同角度用常規(guī)方法進行了歸納，在此與各位同仁共勉.　　1.直接法　　直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F（x，y）=0.　　例1：已知動點P到定點F（-1，0）和直線x=2的距離相等，求P的軌跡方程.　　分析：由題意，可根據(jù)點到點

2、的距離與點到直線的距離，直接找到x，y之間的函數(shù)關(guān)系.　　解：設(shè)點P坐標為（x，y），由題意可知=

3、x-2

4、（*）　　（*）式兩邊平方可化簡為y=-6x+3　　方法點評：運用直接法求解圓錐曲線軌跡方程時，可根據(jù)圓錐曲線的定義，直接得到等量關(guān)系.此方法適用范圍較普遍.　　2.待定系數(shù)法　　已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).4　　例2：線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為？搖？搖？搖？搖.　　分析：對于線段AB所在的直線應(yīng)分斜率存在與否

5、分類討論，斜率不存在的情形時，A、B兩點的橫坐標相等，又由點在拋物線上討論可得；對于斜率存在的情形，由題意可知，A、B兩點為拋物線與直線的交點，所以可聯(lián)立兩方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出yy，

6、y

7、?

8、y

9、=2m解之.　　解：依題意可設(shè)所求拋物線方程為y=2px（p>0）.　　（1）當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程可表示為x=m，設(shè)點A坐標為（m，y），點B坐標為（m，y），因為點A、點B在拋物線y=2px（p>0）上，所以y=2pm，y=2pm.此時端點A、B到x軸距離之積

10、y

11、?

12、y

13、=2m，即4pm=4m，解得p=1.故拋物線方程為y=2x.　?。?）當直線AB的斜率存在

14、時，設(shè)斜率為k（k≠0），則依題意可知點A、點B為直線與拋物線的交點，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m），將方程y=2px（p>0）和y=k（x-m）聯(lián)立解得ky-2py-2pkm=0，即得yy=-2pm，而點A、B到x軸距離之積

15、y

16、?

17、y

18、=2m，亦即

19、yy

20、=

21、-2pm

22、=2m（*），解（*）式得p=1，故拋物線方程為y=2x.　　綜合上述（1）、（2）可知，所求拋物線方程為y=2x.　　方法點評：待定系數(shù)法是解題的常用方法，在求曲線的軌跡方程時亦是一種很不錯的方法.　　3.定義法4　　先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.　　例3：△ABC

23、中，B（-13，0），C（13，0），且sinC-sinB=sinA，求點A的軌跡方程.　　分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），利用余弦定理的推論，轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系.　　解：∵sinC-sinB=sinA　　2RsinC-2RsinB=?2RsinA　　∴

24、AB

25、-

26、AC

27、=

28、BC

29、　　又

30、BC

31、=26　　即

32、AB

33、-

34、AC

35、=10（*）　　∴點A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）　　∵2a=10，2c=26　　∴a=5，c=13，b=12　　所求軌跡方程為-=1（x>5）　　方法點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說

36、明了軌跡（雙曲線右支）.　　4.代入轉(zhuǎn)移法　　動點p（x，y）依賴于另一動點Q（x，y）的變化而變化，并且Q（x，y）又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x，y，再將x，y代入已知曲線得要求的軌跡方程.　　例4：動點P是拋物線y=2x上任一點，定點為A（0，-3），點M分P所成的比為2，則M的軌跡方程為？搖？搖？搖？搖？搖.4　　分析：分別設(shè)出點M坐標為（x，y），點P坐標為（x，y），根據(jù)題意知P=2P，再將兩向量分別用坐標表示，就可找到x與x，y與y，又由點P在拋物線上，從而將x與y之間的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與y之間的函數(shù)關(guān)系.　　解：設(shè)點M坐標為（x，y），點P坐標為（x，y）

37、，則y=2x，　　由題意知P=2P，P=（-x，-3-y），P=（x-x，y-y），　　故有-x=2（x-x）且-3-y=2（y-y），解得：x=2x，y=2y+3.　　又因為y=2x，所以2y+3=2（2x），化簡得y=4x-.　　方法點評：本題中利用坐標表示向量，并運用代入轉(zhuǎn)移法使問題求解思路易于理解，求解過程得以簡化.　　5.參數(shù)法　　當動點p（x，y）坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x，y均用一中間