求軌跡方程常用的方法汪雪芳

《求軌跡方程常用的方法汪雪芳》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。

1、求軌跡方程常用的方法汪雪芳　　軌跡方程，特別是圓錐曲線軌跡方程的求解內(nèi)容豐富，聯(lián)系廣泛.它既包括代數(shù)、幾何及三角等章節(jié)中的眾多基礎(chǔ)知識(shí)，又容納許多解題技巧，方法多、技巧性強(qiáng)、運(yùn)算量大，是學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)，同時(shí)也是高考命題中的熱點(diǎn).解這類問(wèn)題的方法大致有：（1）直接法；（2）待定系數(shù)法；（3）定義法；（4）代入轉(zhuǎn)移法；（5）參數(shù)法；（6）設(shè)而不求法.本文通過(guò)實(shí)例，從不同角度用常規(guī)方法進(jìn)行了歸納，在此與各位同仁共勉.　　1.直接法　　直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F（x，y）=0.　　例1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（-1，0）和直線x=2的距離相等，求P的軌跡方程.　　分析：由題意，可根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)

2、的距離與點(diǎn)到直線的距離，直接找到x，y之間的函數(shù)關(guān)系.　　解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由題意可知=

3、x-2

4、（*）　?。?）式兩邊平方可化簡(jiǎn)為y=-6x+3　　方法點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用直接法求解圓錐曲線軌跡方程時(shí)，可根據(jù)圓錐曲線的定義，直接得到等量關(guān)系.此方法適用范圍較普遍.　　2.待定系數(shù)法　　已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).4　　例2：線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0）（m>0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為？搖？搖？搖？搖.　　分析：對(duì)于線段AB所在的直線應(yīng)分斜率存在與否

5、分類討論，斜率不存在的情形時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，又由點(diǎn)在拋物線上討論可得；對(duì)于斜率存在的情形，由題意可知，A、B兩點(diǎn)為拋物線與直線的交點(diǎn)，所以可聯(lián)立兩方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出yy，

6、y

7、?

8、y

9、=2m解之.　　解：依題意可設(shè)所求拋物線方程為y=2px（p>0）.　?。?）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程可表示為x=m，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，y），點(diǎn)B坐標(biāo)為（m，y），因?yàn)辄c(diǎn)A、點(diǎn)B在拋物線y=2px（p>0）上，所以y=2pm，y=2pm.此時(shí)端點(diǎn)A、B到x軸距離之積

10、y

11、?

12、y

13、=2m，即4pm=4m，解得p=1.故拋物線方程為y=2x.　?。?）當(dāng)直線AB的斜率存在

14、時(shí)，設(shè)斜率為k（k≠0），則依題意可知點(diǎn)A、點(diǎn)B為直線與拋物線的交點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m），將方程y=2px（p>0）和y=k（x-m）聯(lián)立解得ky-2py-2pkm=0，即得yy=-2pm，而點(diǎn)A、B到x軸距離之積

15、y

16、?

17、y

18、=2m，亦即

19、yy

20、=

21、-2pm

22、=2m（*），解（*）式得p=1，故拋物線方程為y=2x.　　綜合上述（1）、（2）可知，所求拋物線方程為y=2x.　　方法點(diǎn)評(píng)：待定系數(shù)法是解題的常用方法，在求曲線的軌跡方程時(shí)亦是一種很不錯(cuò)的方法.　　3.定義法4　　先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.　　例3：△ABC

23、中，B（-13，0），C（13，0），且sinC-sinB=sinA，求點(diǎn)A的軌跡方程.　　分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），利用余弦定理的推論，轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系.　　解：∵sinC-sinB=sinA　　2RsinC-2RsinB=?2RsinA　　∴

24、AB

25、-

26、AC

27、=

28、BC

29、　　又

30、BC

31、=26　　即

32、AB

33、-

34、AC

35、=10（*）　　∴點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）　　∵2a=10，2c=26　　∴a=5，c=13，b=12　　所求軌跡方程為-=1（x>5）　　方法點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說(shuō)

36、明了軌跡（雙曲線右支）.　　4.代入轉(zhuǎn)移法　　動(dòng)點(diǎn)p（x，y）依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的變化而變化，并且Q（x，y）又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x，y，再將x，y代入已知曲線得要求的軌跡方程.　　例4：動(dòng)點(diǎn)P是拋物線y=2x上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為A（0，-3），點(diǎn)M分P所成的比為2，則M的軌跡方程為？搖？搖？搖？搖？搖.4　　分析：分別設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意知P=2P，再將兩向量分別用坐標(biāo)表示，就可找到x與x，y與y，又由點(diǎn)P在拋物線上，從而將x與y之間的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與y之間的函數(shù)關(guān)系.　　解：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y）

37、，則y=2x，　　由題意知P=2P，P=（-x，-3-y），P=（x-x，y-y），　　故有-x=2（x-x）且-3-y=2（y-y），解得：x=2x，y=2y+3.　　又因?yàn)閥=2x，所以2y+3=2（2x），化簡(jiǎn)得y=4x-.　　方法點(diǎn)評(píng)：本題中利用坐標(biāo)表示向量，并運(yùn)用代入轉(zhuǎn)移法使問(wèn)題求解思路易于理解，求解過(guò)程得以簡(jiǎn)化.　　5.參數(shù)法　　當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p（x，y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間