分數(shù)階導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

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1、萬方數(shù)據(jù)聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下，獨立進行研究所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名：王亟經(jīng)Etgq：絲絲差笸宣!璺關(guān)于學(xué)位論文使用權(quán)的說明本人完全了解太原理工大學(xué)有關(guān)保管、使用學(xué)位論文的規(guī)定，其中包括：①學(xué)校有權(quán)保管、并向有關(guān)部門送交學(xué)位論文的原件與復(fù)印件；②學(xué)校可以采用影印、縮印或其它復(fù)制手段復(fù)制并保存學(xué)

2、位論文；③學(xué)?？稍试S學(xué)位論文被查閱或借閱；④學(xué)?？梢詫W(xué)術(shù)交流為目的，復(fù)制贈送和交換學(xué)位論文；⑤學(xué)?？梢怨紝W(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容(保密學(xué)位論文在解密后遵守此規(guī)定)o簽名：導(dǎo)師簽名：萬方數(shù)據(jù)太原理工大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文分數(shù)階導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用摘要近幾年來，分數(shù)階微積分被廣泛運用到各個領(lǐng)域，解決了許多整數(shù)階微積分不能很好解釋的問題。正是由于分數(shù)階微積分的廣泛應(yīng)用，所以近來它也成為了大家研究的重要內(nèi)容之一。在本文中，我們主要討論了分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的一種數(shù)值解法及其在生物力學(xué)上的應(yīng)用。首先我們在整數(shù)階數(shù)值微分的基礎(chǔ)上給

3、出了一種解一維離散擾動數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值解法。我們知道求解導(dǎo)數(shù)的問題是不適定問題，即很小的誤差在計算導(dǎo)數(shù)時可能會引起很大的誤差或錯誤。在本文中我們通過函數(shù)逼近(徑向基函數(shù)一RBF)的方法來近似精確函數(shù)，同時運用Tikhonov正則化方法來有效地解決此不適定問題。在分析過程中我們采用先驗選取準(zhǔn)則和Morozov，s偏差原理中的后驗選取準(zhǔn)則來選取正則化參數(shù)，并給出兩種選擇下的收斂性分析。其次，我們給出了分數(shù)階導(dǎo)數(shù)在力學(xué)上的應(yīng)用。我們在已有的典型粘彈性模型中加入分數(shù)階元素一彈簧壺來模擬生物組織的粘彈性，然后

4、給出我們提出的模型與已有模型的比較，同時給出各個粘彈性參數(shù)的靈敏度分析以及各個模型下的擬合結(jié)果。在給出分數(shù)階導(dǎo)數(shù)值解法的討論過程中，給出兩種選擇下的穩(wěn)定性分析，并通過理論分析及數(shù)值實例我們發(fā)現(xiàn)先驗選取準(zhǔn)則下的結(jié)果要優(yōu)于后驗選取準(zhǔn)則下的結(jié)果。在給出分數(shù)階導(dǎo)數(shù)在力學(xué)上的應(yīng)用時，通過結(jié)果分析我們發(fā)現(xiàn)在少一個粘彈性參數(shù)的基礎(chǔ)上我們的模型也可以得到很好的擬合結(jié)果，所以從計算成本考慮，在實際應(yīng)用中可以采用我們的模型來進行數(shù)學(xué)建模和仿真。萬方數(shù)據(jù)太原理工大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文．二關(guān)鍵詞：分數(shù)階微積分，徑向基函數(shù)，收斂

5、性分析，粘彈性模型，靈敏度分析萬方數(shù)據(jù)太原理工大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文FRACTIoNALDERIVALTIVESANDITSAPPLICATIONSABSTRACTInrecentyears，thefractionalordercalculusiswidelyappliedinvariousfields，andithassolvedmanyproblemswhichintegerordercalculuscan’texplainverywell．Becauseofthewideapplicationof

6、fractionalordercalculus，ithasbecomeoneoftheimportantcontentsrecently．Inthisarticle，Wemainlydiscussthecontentsoftwoaspects．Firstofall，wegiveanumericalmethodtosolvethefractionalderivativeunderonedimensionalscatterednoisedatawhichonthebasisoftheintegerorder

7、calculus．Theproblemsofsolvingderivativesarewell-．knowntobei11．．posedinthesensethatsmallerrorsinthedatamightinducelargeerrorsinthecomputedderivative。Inthispaper，weusethefunctionapproximation(RadialBasisFunction-RBF)toapproximatetheexactfunction；atthesamet

8、imeweusetheTikhonovregularizationmethodtosolvethisill—posedproblemeffectively．WeadoptaprioriruleoraposterioriruleofMorozov’Sdiscrepancyprincipleinchoosingtheregularizationparameter，andthestabilityanalysisundertwochoicesisg