經(jīng)典功率譜估計方法實現(xiàn)問題的研究

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1、1隨機信號的經(jīng)典譜估計方法估計功率譜密度的平滑周期圖是一種計算簡單的經(jīng)典方法。它的主要特點是與任何模型參數(shù)無關(guān)，是一類非參數(shù)化方法[4]。它的主要問題是：由于假定信號的自相關(guān)函數(shù)在數(shù)據(jù)觀測區(qū)以外等于零，因此估計出來的功率譜很難與信號的真實功率譜相匹配。在一般情況下，周期圖的漸進性能無法給出實際功率譜的一個滿意的近似，因而是一種低分辨率的譜估計方法。本章主要介紹了周期圖法、相關(guān)法譜估計（BT）、巴特利特(Bartlett)平均周期圖的方法和Welch法這四種方法。2.1　周期圖法周期圖法又稱直接法。它是從隨機信號x(n)中截取N長的

2、一段，把它視為能量有限x(n)真實功率譜的估計的抽樣.周期圖這一概念早在1899年就提出了，但由于點數(shù)Ｎ一般比較大，該方法的計算量過大而在當時無法使用。只是1965年FFT出現(xiàn)后，此法才變成譜估計的一個常用方法。周期圖法[5]包含了下列兩條假設(shè)：1．認為隨機序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個樣本x(n)中的一段來估計該隨機序列的功率譜。這當然必然帶來誤差。2．由于對采用DFT，就默認在時域是周期的，以及在頻域是周期的。這種方法把隨機序列樣本x(n)看成是截得一段的周期延拓，這也就是周期圖法這個名字的來歷。與相關(guān)法相比，相關(guān)法

3、在求相關(guān)函數(shù)時將以外是數(shù)據(jù)全都看成零，因此相關(guān)法認為除外x(n)是全零序列，這種處理方法顯然與周期圖法不一樣。但是，當相關(guān)法被引入基于FFT的快速相關(guān)后，相關(guān)法和周期圖法開始融合。通過比較我們發(fā)現(xiàn)：如果相關(guān)法中M=N，不加延遲窗，那么就和補充（N-1）個零的周期圖法一樣了。簡單地可以這樣說：周期圖法是M=N時相關(guān)法的特例。因此相關(guān)法和周期圖法可結(jié)合使用。2.2　相關(guān)法譜估計（BT）法20這種方法以相關(guān)函數(shù)為媒介來計算功率譜，所以又叫間接法。它是1958年由Blackman和Tukey提出。這種方法的具體步驟是：第一步：從無限長隨機

4、序列x(n)中截取長度N的有限長序列列第二步：由N長序列求（2M-1）點的自相關(guān)函數(shù)序列。即(2-1)這里，m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1，MN，是雙邊序列，但是由自相關(guān)函數(shù)的偶對稱性式，只要求出m=0,。。。,M-1的傅里葉變換，另一半也就知道了。第三步：由相關(guān)函數(shù)的傅式變換求功率譜。即(2-2)以上過程中經(jīng)歷了兩次截斷，一次是將x(n)截成N長，稱為加數(shù)據(jù)窗，一次是將x(n)截成（2M-1）長，稱為加延遲窗。因此所得的功率譜僅是近似值，也叫譜估計，式中的代表估值。一般取M<

5、數(shù)才較小，功率譜的計算量才不至于大到難以實現(xiàn)，而且譜估計質(zhì)量也較好。因此，在FFT問世之前，相關(guān)法是最常用的譜估計方法。當FFT問世后，情況有所變化。因為截斷后的可視作能量信號，由相關(guān)卷積定理可得(2-3)這就將相關(guān)化為線性卷積，而線性卷積又可以用快速卷積來實現(xiàn)。我們可對上式兩邊?。?N-1）點DFT，則有(2-4)20于是將時域卷積變?yōu)轭l域乘積，用快速相關(guān)求的完整方案如下：1.對N長的補充（N-1）個零，成為（2N-1）長的。2.求（2N-1）點的FFT，得。3.求。由DFT性質(zhì)，是純實的，滿足共軛偶對稱，而一定是實偶的，且以（

6、2N-1）為周期。4.求（2N-1）點的IFFT：(2-5)這里是實偶的，m=-(N-1)...0...N-1。本來IFFT求和范圍是0至2N-2，由于的實偶性與周期性，求和范圍改為-（N-1）至（N-1）不影響計算結(jié)果。同理可將m的范圍改為-（N-1）至（N-1）。上述的快速相關(guān)中，補充零的目的是為了能用圓周卷積代替線性卷積，以便進一步采用快速卷積算法?？焖傧嚓P(guān)輸出是-（N-1）至（N-1）的2N-1點，加窗后截取的是-（M-1）至（M-1）的頻段，最后作（2M-1）點FFT，得。我們注意到：如果數(shù)據(jù)點數(shù)與自相關(guān)序列點數(shù)相同即M

7、=N，則（2N-1）點的IFFT后緊跟一個（2N-1）點的FFT，利用的對稱性，F(xiàn)T運算框的計算式變?yōu)?2-6)由于N=M并假設(shè)窗形狀是矩形的，第二次的截斷就不需要了。比較式（2-5）和式（2-6），,正反傅氏變換可以抵消，直接得20(2-7)為了實行基2FFT，也可將（2N-1）點換成2N點，這樣做不影響結(jié)果的正確性。2.3　巴特利特(Bartlett)平均周期圖法首先讓我們來看一下為什么周期圖經(jīng)過某種平均(或平滑)后會使它的方差當時趨于零，達到一致估計的目的。如果是不相關(guān)的隨機變量，每一個具有期望值，方差，則可以證明它們的數(shù)學

8、平均的期望值等于，數(shù)學平均的方差等于，即：所以(2-8)由(2-8)可見，L個平均的方差比每個隨機變量的單獨方差小L倍。當20，可達到一致譜估計的目的。因而降低估計量的方差的一種有效方法是將若干個獨立估計值進行平均。把這種方法應(yīng)用于譜估計通常歸功于