一類無限維李代數(shù)的低階上同調(diào)群

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1、學(xué)校代碼：10270分類號：0152.5學(xué)號：152200626碩士學(xué)位論文論文題目一類無限維李代數(shù)的低階上同調(diào)群院系數(shù)理學(xué)院專業(yè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向李代數(shù)研究生姓名干怡婷指導(dǎo)教師裴玉峰副教授完成日期二零一八年三月上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文II上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文摘要摘要本文研究了一類無限維李代數(shù)K(;)(其中,∈C)的低階上同調(diào)群.李代數(shù)K(;)依賴于兩個復(fù)參數(shù),,可以看作是Virasoro代數(shù)的某種擴(kuò)張.在同構(gòu)意義下,本文分別計算了其二階上同調(diào)群H2(K(;);C)和一階上同調(diào)群H1(K(;);K(;)).根據(jù),的不同取值,前者

2、的維數(shù)被分成了16種情況,后者的維數(shù)被分成了11種情況.關(guān)鍵詞：無限維李代數(shù),二階上同調(diào)群,一階上同調(diào)群.IAbstract上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文AbstractInthispaper,westudycohomologyofaclassofin?ntiedimensionalLiealgebrasK(λ,μ).TheseLiealgebrasareequippedwithtwoindependentcomplexparametersλandμ.Uptoisomorphisms,wecomputethesecondandthe?rstcohomologygrou

3、pswithtrivialcoef?cientsofK(λ,μ).Accordingtothedifferentλandμ,theformerdimensioniscalculatedinto16caseswhilethelateroneiscalculatedinto11.KeyWords:In?nitedimensionalLieAlgebras,Secondcohomologygroup,Firstcoho-mologygroup.II上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文目錄目錄摘摘摘要要要IAbstractII目目目錄錄錄I1前言11.1研究背景..........

4、............................11.2預(yù)備知識......................................11.3主要結(jié)果......................................31.4結(jié)構(gòu)安排......................................92定理1.1的證明103定理1.2的證明27參考文獻(xiàn)36致謝39I目錄上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文II上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文第1章前言第1章前言1.1研究背景⊕二十世紀(jì)初,數(shù)學(xué)家E.Cartan給出了一種無限維李代數(shù):Witt代數(shù)L=n

5、∈ZCLn,滿足[Lm,Ln]=(m?n)Lm+n,?m,n∈Z,我們知道Virasoro代數(shù)Vir=L⊕Cc是Witt代數(shù)的一維中心擴(kuò)張,李括號定義為c3[Lm,Ln]=(n?m)Lm+n+(m?m)δm+n;0,[Ln,c]=0.12Gelfand和Fuchs分類了Witt代數(shù)的一維中心擴(kuò)張.Virasoro代數(shù)在李理論,二維共形場理論和弦理論中起著重要的作用(可參見[2][3][6][7][8][9][11][13][14][15][16][18][19][20][21][22][23][26][27][28][29][32]).對Virasoro代數(shù)及其

6、相關(guān)代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示已經(jīng)有相當(dāng)多的研究成果(可參見[1][4][5][10][12][17][24][25][30][31][33][34][35][36][37]).1.2預(yù)備知識本文研究了一類無限維李代數(shù)K(λ,μ),其定義如下:定義1.1.對于任意的λ,μ(λ,μ∈C),定義一個李代數(shù)K(λ,μ),它是一個向量空間,有一組C基Lm,Im,Wm,Jm,(?m∈Z),其李括號運(yùn)算為:對于任意的m,n∈Z,有[Lm,Ln]=(m?n)Lm+n,[Lm,Wn]=(λm?n)Wm+n,[Lm,In]=(μm?n)Im+n,[Lm,Jn]=((λ+μ?1)m?n)Jm

7、+n,[Wm,In]=(μm?λn)Jm+n,[Wm,Jn]=[Im,In]=[Jm,Jn]=[Wm,Wn]=[Im,Jn]=0.由定義可以看出K(λ,μ)可以看作是Witt代數(shù)的某種擴(kuò)張.另外由Ln,Wn,n∈Z生成的子代數(shù)同構(gòu)于文獻(xiàn)[38]中的W(0,b)代數(shù).定義1.2([39]).設(shè)g是復(fù)數(shù)域C上的一個李代數(shù),雙線性型α:g×g→C被稱為g上的一個二階上循環(huán),如果滿足以下條件:(1)α(x,y)=?α(y,x);(2)α(x,[y,z])+α(y,[z,x])+α(z,[x,y])=0.1第1章前言上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文對任意線性函數(shù)f:g→C,我們可

8、以定義一個g上的二階上循