矩陣特點問題求解

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1、第五章矩陣特征問題的求解5.1引言在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域中，許多問題都?xì)w為求解一個特征系統(tǒng)。如動力學(xué)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動問題，求系統(tǒng)的頻率與振型；物理學(xué)中的某些臨界值的確定等等。設(shè)A為n階方陣，，若，有數(shù)l使Ax=lx（5.1）則稱l為A的特征值，x為相應(yīng)于l的特征向量。因此，特征問題的求解包括兩方面：1．求特征值l，滿足（5.2）2．求特征向量，滿足齊方程組（5.3）稱j（l）為A的特征多項式，它是關(guān)于l的n次代數(shù)方程。關(guān)于矩陣的特征值，有下列代數(shù)理論，定義1設(shè)矩陣A,B?Rn′n，若有可逆陣P，使則稱A與B相似。定

2、理1若矩陣A,B?Rn′n且相似，則（1）A與B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，則Px便為A的特征向量。定理2設(shè)A?Rn′n具有完全的特征向量系，即存在n個線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底，則經(jīng)相似變換可化A為對角陣，即有可逆陣P，使其中l(wèi)i為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于li的特征向量。定理3A?Rn′n，l1,…,ln為A的特征值，則（1）A的跡數(shù)等于特征值之積，即（2）A的行列式值等于全體特征值之積，即定理4設(shè)A?Rn′n為對稱矩陣，其特征值l1≥l2≥…≥ln，則19/19（1）對任A?Rn，x≠

3、0，（2）（3）定理5（Gerschgorin圓盤定理）設(shè)A?Rn′n，則（1）A的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中，（5.4）（5.4）式表示以aii為中心，以半徑為的復(fù)平面上的n個圓盤。（2）如果矩陣A的m個圓盤組成的并集S（連通的）與其余n–m個圓盤不連接，則S內(nèi)恰包含m個A的特征值。定理4及定理5給出了矩陣特征值的估計方法及界。例1設(shè)有估計A的特征值的范圍。解由圓盤定理，A的3個圓盤為圖5.1D1:D2:D3:見圖5.1。D2為弧立圓盤且包含A的一個實特征值l1（因為虛根成對出現(xiàn)的原理），則3≤l1≤5。而l

4、2，l3?D1∪D2，則，即19/195.2乘冪法與反冪法在實際工程應(yīng)用中，如大型結(jié)構(gòu)的振動系統(tǒng)中，往往要計算振動系統(tǒng)的最低頻率（或前幾個最低頻率）及相應(yīng)的振型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題便為求解矩陣的按模最大或前幾個按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量問題，或稱為求主特征值問題。5.2.1乘冪法乘冪法是用于求大型稀疏矩陣的主特征值的迭代方法，其特點是公式簡單，易于上機實現(xiàn)。乘冪法的計算公式為：設(shè)A?Rn′n，取初始向量x(0)?Rn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有（5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由遞推

5、公式（5.5），有（5.6）這表明x(k)是用A的k次冪左乘x(0)得到的，因此稱此方法為乘冪法，（5.5）或（5.6）式稱為乘冪公式，{x(k)}稱為迭代序列。下面分析乘冪過程，即討論當(dāng)k→∞時，{x(k)}與矩陣A的主特征值及相應(yīng)特征向量的關(guān)系。設(shè)A=(aij)n′n有完全的特征向量系，且l1,l2,…,ln為A的n個特征值，滿足v1,v2,…,vn為相應(yīng)的特征向量且線性無關(guān)，從而構(gòu)成Rn上的一組基底。對任取初始向量x(0)?Rn，可由這組基底展開表示為（5.7）其中a1,a2,…,an為展開系數(shù)。將x(0)的展開

6、式（5.7）代入乘冪公式（5.6）中，得（5.8）利用（5.8）式為（5.9）（1）如果A有唯一的主特征值，即，設(shè)l110，且由（5.9）式，有19/19其中，由于，故當(dāng)k充分大時，ek?0，此時（5.10）對i=1,2,…,n，若(a1v1)i10，考慮相鄰迭代向量的對應(yīng)分量比值，（5.11）即對i=1,…,n（5.12）這表明主特征值l1可由（5.11）或（5.12）式得到。由于迭代序列x(k)，當(dāng)k充分大時，（5.10）式成立，x(k)與v1只相差一個常數(shù)因子，故可取x(k)作為相應(yīng)于主特征值l1的特征向量的近似

7、值。迭代序列x(k)的收斂速度取決于的大小。（2）如果A的主特征值不唯一，且可分三種情況討論：a）l1=l2；b）l1=-l2；c）情況a）當(dāng)l1=l2時，A的主特征值為二重根，根據(jù)（5.9）式當(dāng)k充分小時，由于，j=3,…,n，ek?0，則對i=1,2,…,n，如果，則（主特征值）且x(k)收斂到相應(yīng)于l1(=l2)的特征向量的近似值。這種重主特征值的情況，可推廣到A的r重主特征值的情況，即當(dāng)19/19且時，上述討論的結(jié)論仍然成立。情況b）當(dāng)l1=-l2時，A的主特征值為相反數(shù)，（5.9）式為當(dāng)k充分大時，，j=3,

8、4,…,n,ek?0，則（5.13）由于（5.13）式中出現(xiàn)因子(-1)k，則當(dāng)k變化時，x(k)出現(xiàn)振蕩、擺動現(xiàn)象，不收斂，利用(-1)k的特點，連續(xù)迭代兩步，得從而，對i=1,2,…,n，若，則（5.14）開方之后，便得到A的以上主特征值l1,l2=-l1。為計算相應(yīng)于l1,l2的特征向量，采取組合方式，（5.15）（5.16