李群方法及應用.doc

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1、第9講李群方法及其應用19世紀，S.Lie為了研究微分方程，提出了被后人稱之為李群理論。由于李群理論相對比較抽象，因此在20世紀70年代以前，這一理論沒有被廣泛應用。直到1974年Bluman,Cole寫了一本直觀易懂的著作[1]，李群理論逐漸廣泛地用于研究和求解非線性偏微分方程（非線性發(fā)展方程）。應用李群求解非線性偏微分方程的基本思想是，通過構造群不變量作為函數變換的基礎，使偏微分方程（減少一個自變量）得到化簡或求解。除必要的概念和結論外，我們仍先不涉及過多的李群內容，把重點放在應用李群如何求解方程上。一、基本概念及結論1群的定義定義1設是一個集合，規(guī)定元素的運算（以后常省略此符號），若（1

2、）封閉性：對，有。且滿足結合律。（2）單位元：存在單位元，使。（3）逆元：，，使。稱對運算構成一個群。例如按照加法運算構成實數加群。2單參數李群在實際應用中，常用到一類特殊的李群-——單參數李群。定義2設是由函數變換組成的集合，確定了到的函數變換，即（1）且關于按加法運算構成實數加群。也就是（1）時是的單位元（恒同變換）；（2）時是的逆元（逆變換）；（3）兩個變換的“乘積”仍是中的元素（封閉性），若有，則有，稱為單參數變換群（或李點變換群，簡稱為李群），其中是的光滑函數，且它們都是關于的解析函數。注1由（1）決定的變換通常稱為李群的整體形式變換。注2把（1）在附近展為泰勒展式，，（2），稱（2

3、）為李群的無窮小表達形式，稱函數分別為的無窮小元。由它們決定的切空間中的向量場（3）稱為的生成元。定理1設向量場由（3）給出，則由生成的（局部）單參數群是下述初始問題的解（4）我們不在此證明定理，證明可參考[2，3]。上述定理表明，如果知道了向量場（3）（即函數已知），那么變換群也就確定出來。因此在李群的理論應用中，人們通常關心的是的生成元。一、李群的應用理論1不變群條件下面我們以一個二階非線性方程為例，說明不變群的有關性質。給定一個微分方程，（5）其中是已知函數。方程（5）在李群變換（1）下不變是指，（6）此時也稱是方程（5）的不變群（對稱群）。在附近，利用方程（5）和（6），有其中，（8）

4、這里分別稱為的無窮小元。因此要使（5）在下不變當且僅當.（9）定理2在變換（1）下，是（5）的不變群的充要條件是（9）成立。注3通過（9）可計算的無窮小元，即由此確定的生成元。2無窮小元的計算公式李群的基本出發(fā)點是從研究代數方程開始的，對代數方程，（10）由群的不變性，相應的（9）式為.（11）定義3給定一個函數，如果，稱是由向量場生成的單參數群的一個不變量。從另一個角度來看，如果我們把一個偏微分方程（5）的左端看成定義在自變量空間上的函數，則可把（5）也視為是一代數方程。因此這就需要把原定義域延拓到射流空間，相應的向量場也要延拓到相應的射流空間上，記的二階延拓（prolongation）為，

5、即,這樣（9）式可記為，（9）理論上已經證明，利用（9）計算出的（即）生成的單參數群仍是不變群。李群理論表明，如果能夠找出的足夠多的不變量，則以這些（獨立的）不變量作為新自變量，可把原方程化簡為等價的關于新自變量的方程，且新方程的自變量個數要比原方程的少，從而達到約化或求解的目的。為了求解方程（9），我們不加證明的給出下述無窮小元的計算公式。定理3在（9）式中，有，，，，，其中表示關于的全微分算子。如遇到高階延拓，可同樣推理給出計算公式。如.一、應用我們將通過具體例子說明李群方法的應用。例對于KdV方程，有，求其解。解1先求無窮小元設單參數群的生成元為，由于方程中出現未知函數的三階導數項，因此

6、的三階延拓為利用定理2中的（9）式有，即，注意此時都是獨立變量，且方程中不顯含，上式即為，（10）利用定理3中的計算公式有，通過觀察知道，在中，和的系數應等于零，得到，并且，（11）因為（10）是在下成立，即應把代入（11）消去。注意到中的與中的相應項抵消，則由的系數為零得到，其中是任意積分函數。再考慮到（11）中包含的項（僅在中），可推出，并且此時（11）式變?yōu)?，?2）令上式中的系數為零，便有，由前兩個方程導出.再由第三個方程得，而，因此。利用上式中的最后一個方程有。綜上所述得到，從此有其中為任意積分常數。所以我們得到的無窮小元為.(13)2方程的約化或求解我們已經求出了KdV方程的群生成

7、元，其中分別由（13）確定。下面我們對方程進行求解和約化，這些步驟和利用對稱方法求解是相同的。由定義3，若函數滿足，則是群的不變量?，F在通過選擇不同的求不變量，并通過不變量得到KdV方程的解。(1)此時，由，相應的特征方程組為，因此是群不變量，其中是任意常數（其實如果函數是不變量，那么它的任意函數也一定是不變量）。因此做變換可把KdV方程約化為的常微分方程，此方程的解（如橢圓函數和雙曲函數表達的解