李群方法及應(yīng)用.doc

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1、第9講李群方法及其應(yīng)用19世紀(jì)，S.Lie為了研究微分方程，提出了被后人稱之為李群理論。由于李群理論相對(duì)比較抽象，因此在20世紀(jì)70年代以前，這一理論沒(méi)有被廣泛應(yīng)用。直到1974年Bluman,Cole寫了一本直觀易懂的著作[1]，李群理論逐漸廣泛地用于研究和求解非線性偏微分方程（非線性發(fā)展方程）。應(yīng)用李群求解非線性偏微分方程的基本思想是，通過(guò)構(gòu)造群不變量作為函數(shù)變換的基礎(chǔ)，使偏微分方程（減少一個(gè)自變量）得到化簡(jiǎn)或求解。除必要的概念和結(jié)論外，我們?nèi)韵炔簧婕斑^(guò)多的李群內(nèi)容，把重點(diǎn)放在應(yīng)用李群如何求解方程上。一、基本概念及結(jié)論1群的定義定義1設(shè)是一個(gè)集合，規(guī)定元素的運(yùn)算（以后常省略此符號(hào)），若（1

2、）封閉性：對(duì)，有。且滿足結(jié)合律。（2）單位元：存在單位元，使。（3）逆元：，，使。稱對(duì)運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。例如按照加法運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)加群。2單參數(shù)李群在實(shí)際應(yīng)用中，常用到一類特殊的李群-——單參數(shù)李群。定義2設(shè)是由函數(shù)變換組成的集合，確定了到的函數(shù)變換，即（1）且關(guān)于按加法運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)加群。也就是（1）時(shí)是的單位元（恒同變換）；（2）時(shí)是的逆元（逆變換）；（3）兩個(gè)變換的“乘積”仍是中的元素（封閉性），若有，則有，稱為單參數(shù)變換群（或李點(diǎn)變換群，簡(jiǎn)稱為李群），其中是的光滑函數(shù)，且它們都是關(guān)于的解析函數(shù)。注1由（1）決定的變換通常稱為李群的整體形式變換。注2把（1）在附近展為泰勒展式，，（2），稱（2

3、）為李群的無(wú)窮小表達(dá)形式，稱函數(shù)分別為的無(wú)窮小元。由它們決定的切空間中的向量場(chǎng)（3）稱為的生成元。定理1設(shè)向量場(chǎng)由（3）給出，則由生成的（局部）單參數(shù)群是下述初始問(wèn)題的解（4）我們不在此證明定理，證明可參考[2，3]。上述定理表明，如果知道了向量場(chǎng)（3）（即函數(shù)已知），那么變換群也就確定出來(lái)。因此在李群的理論應(yīng)用中，人們通常關(guān)心的是的生成元。一、李群的應(yīng)用理論1不變?nèi)簵l件下面我們以一個(gè)二階非線性方程為例，說(shuō)明不變?nèi)旱挠嘘P(guān)性質(zhì)。給定一個(gè)微分方程，（5）其中是已知函數(shù)。方程（5）在李群變換（1）下不變是指，（6）此時(shí)也稱是方程（5）的不變?nèi)海▽?duì)稱群）。在附近，利用方程（5）和（6），有其中，（8）

4、這里分別稱為的無(wú)窮小元。因此要使（5）在下不變當(dāng)且僅當(dāng).（9）定理2在變換（1）下，是（5）的不變?nèi)旱某湟獥l件是（9）成立。注3通過(guò)（9）可計(jì)算的無(wú)窮小元，即由此確定的生成元。2無(wú)窮小元的計(jì)算公式李群的基本出發(fā)點(diǎn)是從研究代數(shù)方程開(kāi)始的，對(duì)代數(shù)方程，（10）由群的不變性，相應(yīng)的（9）式為.（11）定義3給定一個(gè)函數(shù)，如果，稱是由向量場(chǎng)生成的單參數(shù)群的一個(gè)不變量。從另一個(gè)角度來(lái)看，如果我們把一個(gè)偏微分方程（5）的左端看成定義在自變量空間上的函數(shù)，則可把（5）也視為是一代數(shù)方程。因此這就需要把原定義域延拓到射流空間，相應(yīng)的向量場(chǎng)也要延拓到相應(yīng)的射流空間上，記的二階延拓（prolongation）為，

5、即,這樣（9）式可記為，（9）理論上已經(jīng)證明，利用（9）計(jì)算出的（即）生成的單參數(shù)群仍是不變?nèi)骸＠钊豪碚摫砻?，如果能夠找出的足夠多的不變量，則以這些（獨(dú)立的）不變量作為新自變量，可把原方程化簡(jiǎn)為等價(jià)的關(guān)于新自變量的方程，且新方程的自變量個(gè)數(shù)要比原方程的少，從而達(dá)到約化或求解的目的。為了求解方程（9），我們不加證明的給出下述無(wú)窮小元的計(jì)算公式。定理3在（9）式中，有，，，，，其中表示關(guān)于的全微分算子。如遇到高階延拓，可同樣推理給出計(jì)算公式。如.一、應(yīng)用我們將通過(guò)具體例子說(shuō)明李群方法的應(yīng)用。例對(duì)于KdV方程，有，求其解。解1先求無(wú)窮小元設(shè)單參數(shù)群的生成元為，由于方程中出現(xiàn)未知函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因此

6、的三階延拓為利用定理2中的（9）式有，即，注意此時(shí)都是獨(dú)立變量，且方程中不顯含，上式即為，（10）利用定理3中的計(jì)算公式有，通過(guò)觀察知道，在中，和的系數(shù)應(yīng)等于零，得到，并且，（11）因?yàn)椋?0）是在下成立，即應(yīng)把代入（11）消去。注意到中的與中的相應(yīng)項(xiàng)抵消，則由的系數(shù)為零得到，其中是任意積分函數(shù)。再考慮到（11）中包含的項(xiàng)（僅在中），可推出，并且此時(shí)（11）式變?yōu)?，?2）令上式中的系數(shù)為零，便有，由前兩個(gè)方程導(dǎo)出.再由第三個(gè)方程得，而，因此。利用上式中的最后一個(gè)方程有。綜上所述得到，從此有其中為任意積分常數(shù)。所以我們得到的無(wú)窮小元為.(13)2方程的約化或求解我們已經(jīng)求出了KdV方程的群生成

7、元，其中分別由（13）確定。下面我們對(duì)方程進(jìn)行求解和約化，這些步驟和利用對(duì)稱方法求解是相同的。由定義3，若函數(shù)滿足，則是群的不變量。現(xiàn)在通過(guò)選擇不同的求不變量，并通過(guò)不變量得到KdV方程的解。(1)此時(shí)，由，相應(yīng)的特征方程組為，因此是群不變量，其中是任意常數(shù)（其實(shí)如果函數(shù)是不變量，那么它的任意函數(shù)也一定是不變量）。因此做變換可把KdV方程約化為的常微分方程，此方程的解（如橢圓函數(shù)和雙曲函數(shù)表達(dá)的解