計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第四章-非線性回歸模型的線性化

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1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)授課人：田立法教材：張曉峒《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)（第3版）》授課班級：金融0905、0906，信用0901公共信箱：sd_jiliang_2011@163.comtianlifa計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)天津商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院天津商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院2011年10月第四章非線性回歸模型的線性化第一節(jié)：變量間的非線性關(guān)系第二節(jié)：線性化方法第三節(jié)：案例分析第一節(jié)變量間的非線性關(guān)系1.線性回歸模型與非線性回歸模型的形式有何不同？線性模型非線性模型2.非線性回歸模型可分為幾類？第一類：非標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型；第二類：可線性化的非線

2、性回歸模型；第三類：不可線性化的非線性回歸模型。第一節(jié)變量間的非線性關(guān)系第一類：非標(biāo)準(zhǔn)的線性化模型Y與解釋變量之間不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù)之間存在線性關(guān)系。舉例：總成本函數(shù)模型第一節(jié)變量間的非線性關(guān)系第二類：可線性化的非線性回歸模型此類模型可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生產(chǎn)函數(shù)模型，簡稱C-D生產(chǎn)函數(shù)模型：其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動(dòng)投入量，A為效率系數(shù)，和非別為K和L的產(chǎn)出彈性，A、和均為待估未知參數(shù)。取對數(shù)后：第一節(jié)變量

3、間的非線性關(guān)系第三類：不可線性化的非線性回歸模型有些回歸模型無論通過什么樣的變換，都無法使其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這類回歸模型被稱為不可線性化的非線性回歸模型。如：第二節(jié)線性化方法1.非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法變量替換法變量替換公式為則第二節(jié)線性化方法（1）多項(xiàng)式函數(shù)模型令則例4.1假設(shè)某企業(yè)在15年中每年的產(chǎn)量和總成本的統(tǒng)計(jì)資料如表4.1所示，試估計(jì)該企業(yè)的總成本函數(shù)模型。解：詳見教材。第二節(jié)線性化方法（2）雙曲函數(shù)模型令則，化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型第二節(jié)線性化方法（3）對數(shù)函數(shù)模型令則（4）S-

4、型曲線模型取倒數(shù)令則第二節(jié)線性化方法2.可線性化的非線性回歸模型的線性化方法（1）指數(shù)函數(shù)模型取對數(shù)令則（2）冪函數(shù)模型第二節(jié)線性化方法例4.2對于柯布—道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動(dòng)投入量，u表示隨機(jī)誤差項(xiàng)，A、、為未知參數(shù)。試?yán)锰旖蚴?980年~1996年間的有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料，估計(jì)天津市全社會的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。解：詳見教材。第二節(jié)線性化方法3.不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法迭代線性化法第一步：根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論和歷史統(tǒng)計(jì)資料，選定作為未知參數(shù)的一組

5、初始估計(jì)值。接著將模型的非線性函數(shù)在這組初始估計(jì)值附近作泰勒級數(shù)展開，得舍掉二階和二階以上的高階項(xiàng)，得：第二節(jié)線性化方法3.不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法移項(xiàng)整理后得：令得3.不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法第二步：對變換好的標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)未知參數(shù)。由給定的樣本觀察值和初始估計(jì)值計(jì)算出一組新的樣本觀測值。利用這組新的樣本觀測值，就可以得到線性回歸模型的一組新的最小二乘估計(jì)量。第三步：將非線性函數(shù)在這組新的參數(shù)估計(jì)值附近作泰勒級數(shù)展開，線性化后得到一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)

6、線性回歸模型。對這個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型再應(yīng)用普通最小二乘法，又得到一組新的最小二乘估計(jì)量。第二節(jié)線性化方法3.不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法重復(fù)這一過程：一直到參數(shù)估計(jì)值滿足下式為止，即對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，不等式成立。例4.3寫出利用迭代線性化法估計(jì)下面的非線性消費(fèi)函數(shù)模型的具體步驟。其中，C表示總消費(fèi)，Y表示可支配收入。第二節(jié)線性化方法第二節(jié)線性化方法3.不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法解：若C與Y之間存在線性關(guān)系，則，因此可將參數(shù)的初始估計(jì)值取為。將非線性消費(fèi)函數(shù)在這

7、組初始估計(jì)值附近作泰勒級數(shù)展開，然后取線性近似。代入消費(fèi)函數(shù)模型，得移項(xiàng)得令得第二節(jié)線性化方法3.不可線性化的非線性回歸模型的線性化估計(jì)方法解：將參數(shù)初始估計(jì)值換成重復(fù)上述步驟，又得到一組新的最小二乘估計(jì)值直至估計(jì)值達(dá)到預(yù)定的精度為止。美國1947年第1季度~1995年第2季度的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，經(jīng)過22次迭代后達(dá)到收斂，得到的消費(fèi)函數(shù)的估計(jì)模型為第三節(jié)案例分析例4.4兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì)解：兩要素不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，簡稱CES生產(chǎn)函數(shù)，是由Arrow、Chenery、Mihas

8、和Solow等人于1961年提出，其一般形式如下：其中A——效益系數(shù)，是廣義技術(shù)進(jìn)步水平的反映，應(yīng)滿足A>0;——分配系數(shù)，應(yīng)滿足；——替代系數(shù)，應(yīng)滿足；m——規(guī)模報(bào)酬參數(shù)，m<1表示規(guī)模報(bào)酬遞減，m=1表示規(guī)模報(bào)酬不變，m>1表示規(guī)模報(bào)酬遞增。第三節(jié)案例分析例4.4兩要素不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計(jì)解：1928年Cobb，DauglasC-D生產(chǎn)函數(shù)1937年Dauglas，DurandC-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型1957年Solo