弱伴隨矩陣及其性質(zhì)

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1、第24卷第4期延安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.24No.42005年12月JournalofYananUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.2005
弱伴隨矩陣及其性質(zhì)112李順琴,劉興祥,郝變軍(1.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院;2.延安實(shí)驗(yàn)中學(xué),陜西延安716000)摘要:利用伴隨矩陣的概念引入了弱伴隨矩陣的概念,進(jìn)而給出了兩者之間的關(guān)系以及弱伴隨矩陣的性質(zhì).關(guān)鍵詞:弱伴隨矩陣;余子式;對(duì)稱;反對(duì)稱;相似;特征值中圖分類號(hào):O151文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1004-602X(2005)04-0024-03***設(shè)A=(aij)n×n為n

2、階矩陣,用A表示A的伴定理4秩(A)=秩(A)**隨矩陣.由于A中的元素Aij是矩陣A中元素aij(i,證明設(shè)秩(A)=r,則存在n階可逆矩陣i+jj=1,2,?,n)的代數(shù)余子式,而Aij=(-1)Mij,Q1,Q2,使其中Mij為矩陣A中元素aij的余子式,在教學(xué)過(guò)程中Ir0*Q1AQ2=,自然會(huì)考慮到能否用矩陣A中元素aij的余子式Mij,00*如同A的構(gòu)造形式構(gòu)成矩陣來(lái)討論相應(yīng)的問(wèn)題.**Ir0所以Q1AQ2=Q1(PAP)Q2=
001引入定義Ir0*-1-1A=(Q1P)(PQ2),00設(shè)A=(aij)m×n,Mij為A中元素aij的余子式,**即秩(A)=r=秩(

3、A)把矩陣n,秩A=nM11M21?Mn1*定理5秩(A)=1,秩A=n-1*M12M22?Mn2A=0,秩A

4、D2(-1)AD2k(-**定理1A=PAP,其中P=(Pij)n×n,Pij=1)D2k-2(-1)?D2(?-1),其中Di(-1)(i=2,i+1(-1),i=j(i,j=1,2,?,n)4,?,2k)是第二種初等矩陣,所以定理成立.0,i≠j*2.2A的性質(zhì)**定理2A可逆
A可逆
A可逆.定理7關(guān)于弱伴隨矩陣有以下公式成立-11*1***定理3A=A=PAP
(A)′=(A′)
A

A

收稿日期:20050602作者簡(jiǎn)介:李順琴(1979),女,陜西延安市人,延安大學(xué)助教.第4期李順琴,等:弱伴隨矩陣及其性質(zhì)25*n-1*
(kA)=kA2)當(dāng)A不可逆時(shí),即秩A

5、n-1時(shí),由定理5*-1*-1*****n-2
(A)=(A)知秩A
1,所以(A)=0,即(A)=
A
A*****
(AB)=BA由1)、2)知,對(duì)任一n階方陣A,都有(A)=**n-1n-2**n-2

A
=
A
=
A

A
A,又因?yàn)?A)=
A

A,所以原式成立.**證明
,
可由弱伴隨矩陣的定義直接得
1)當(dāng)A可逆時(shí),由定理2知A與A都可出.逆,所以**-1*-1*-1-11*(A)=P[(A)
A
]P=
由于A=P(A)P

A
-11n-1-1n-2*-1-1-1PA
A
P=
A
PAPA=P(
A
A)P,
A*-1-1-1-1-1-1所以(A)=P

6、
A
(A)P=****-1n-11(A)=
A
(A)=
A
PAP=
A
P(1A)P(P-1=P)n-2
A
PAP
A
****n-2*-1-1-1-1-11即(A)=(A)=
A
PAP(A)=(P
A
AP)=P(A)P
A
*2)當(dāng)A不可逆時(shí),由定理5知,秩(A)=秩*-1*-1即(A)=(A)(A*)
1,所以
1)當(dāng)A、B均可逆時(shí)*(A*)=(*A)*=0*-1-1-1(AB)=P
AB
(AB)P=****n-2即(A)=(A)=
A
PAP-1-1-1-1P(
B
B)(
A
A)P=由1)、2)知,原式成立.-1-1-1-1**P(
B
B)PP(
A

7、A)P=BA
因?yàn)?2)當(dāng)A或B不可逆時(shí),令A(yù)(
)=
E+A,
*(*A)
=(
A
n-2)n
A
=
A
(n-1)B(
)=
E+B只要
充分大,就能使A(
),B(
)都
(*A)*
=(
A
n-2)n
P

A

P
=可逆,所以由1)知(n-1)2
A
***(A(
)B(
))=(B(
))(A(
))****(n-1)2所以
(A)
=
(A)
=
A
上式中的元素都是關(guān)于
的多項(xiàng)式,由于
充分*定理9
若A是對(duì)稱矩陣,則A也是對(duì)稱矩大時(shí),對(duì)應(yīng)元素相等,所以對(duì)應(yīng)元素是相等