矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)

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1、矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）2011屆方娜摘要:本文首先回顧了伴隨矩陣的定義，討論了伴隨矩陣的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩陣的伴隨矩陣，并加以證明.最后給出了某些性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.關(guān)鍵詞:伴隨矩陣;矩陣的秩;矩陣的逆;性質(zhì)中圖分類號(hào)：O151.21ThepropertiesofAdjointMatrixAbstract:Theconceptoftheadjointmatrixwasfirstlyreviewed,thentherank,thereversibility,theeigenvalueoftheadjointmat

2、rixandadjointmatricesofsomespecialmatriceswerediscussed,withproofsofthepropertiesbeinggivenout.Lastly,thesimpleapplicationsofthepropertiesaboutadjointmatrixweregivenout.Keywords:adjointmatrix；therankofthematrix；inversematrix；property1目錄1前言12伴隨矩陣的定義13伴隨矩陣的性質(zhì)13.1伴隨矩陣的基本性質(zhì)13.2伴隨矩陣秩

3、的性質(zhì)33.3伴隨矩陣特征值的性質(zhì)43.4特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)44伴隨矩陣的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用7結(jié)束語8參考文獻(xiàn)9致謝9矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)21前言矩陣是高等代數(shù)的重要組成部分，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具.伴隨矩陣作為矩陣中較特殊的一類，其理論和應(yīng)用有自身的特點(diǎn).而在大學(xué)的學(xué)習(xí)中，伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的，并沒有進(jìn)行深入的研究.本文分類研究了伴隨矩陣的性質(zhì)，并給予證明，得到一系列有意義的結(jié)果.從而使高等代數(shù)中的概念—伴隨矩陣比較完整地呈現(xiàn)在我們面前.2伴隨矩陣的定義設(shè)n階矩陣=,是A中元素的代數(shù)余子式，稱矩陣為的伴隨矩陣.3伴隨矩陣的性

4、質(zhì)3.1伴隨矩陣的基本性質(zhì)定理3.1[1]階矩陣可逆的充分必要條件是;當(dāng)可逆時(shí),,其中為的伴隨矩陣.性質(zhì)1設(shè)為的伴隨矩陣,則.2證明［2］由行列式按一行（列）展開的公式3可得.注：（1）可逆時(shí)，;（2）有時(shí)用伴隨矩陣來處理有關(guān)代數(shù)余子式問題.推論3.1與同時(shí)可逆或同時(shí)不可逆，且為階可逆矩陣，則.性質(zhì)2.證明若可逆,則，由性質(zhì)1得.兩邊取行列式，得，也就是.又，則.若不可逆,則［3］,于是A或0.所以，.性質(zhì)3設(shè)為階方陣，為任意非零常數(shù),則.證明設(shè)，，性質(zhì)4證明（法一）設(shè)，則,其中是中元素的代數(shù)余子式.又設(shè)，其中是中元素在中的代數(shù)余子式.由于在中的代數(shù)余

5、子式與在中的代數(shù)余子式互為轉(zhuǎn)置行列式，故.從而.34（法二）由性質(zhì)2注（1），.性質(zhì)5證明由性質(zhì)1注（1），.推廣設(shè)均為階方陣，則，特別地，，為正整數(shù).3.2伴隨矩陣秩的性質(zhì)矩陣的秩是矩陣的重要特性，若以表示矩陣的秩，則有以下結(jié)論:定理2［3］設(shè)是階矩陣，則證明（1）當(dāng)時(shí)，，由性質(zhì)2，,所以.（2）當(dāng)時(shí)，有.于是，由知的列向量都是方程組的解.由于，則齊次線性方程組的解向量組的秩為，知的列向量組的秩為1，即列秩為1，故.(3)當(dāng)時(shí)，的每一個(gè)元素都是0，因?yàn)闆]有不為0的階子式，故.性質(zhì)6，特別，當(dāng)時(shí)，.證明當(dāng)可逆，即時(shí)，由性質(zhì)1得.所以，.當(dāng)不可逆，即時(shí)，

6、,所以.因此.4性質(zhì)7設(shè)階矩陣的秩是，那么存在數(shù)使得.5證明由定理2得，，于是必存在的一個(gè)列向量使得.因此，，這里.3.3伴隨矩陣特征值的性質(zhì)性質(zhì)8設(shè)為階可逆矩陣的一個(gè)特征值，則為的特征值.證明因?yàn)?，又為的特征值，故存在非零向量，使得，即，從而，故為的特征?性質(zhì)9設(shè)階可逆矩陣的特征根為個(gè)非零實(shí)數(shù)，則的特征根.證明在兩邊左乘，利用得到，所以故為的特征值.3.4特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)10可逆的充分必要條件是可逆.證明必要性由性質(zhì)1知，.若可逆，則.所以，5.由可逆矩陣的定義可知可逆.充分性欲證命題成立，只需證其逆否命題成立.即需證若不可逆則也不可逆

7、.即證若則.用反證法.假設(shè)，則可逆.由得，由伴隨矩陣的定義可知與矛盾.故假設(shè)不成立，原命題成立.綜上所述，可逆可逆.性質(zhì)11若對(duì)稱，則也對(duì)稱.證明設(shè),因?yàn)槭菍?duì)稱的，所以.因此且.從而，,即是對(duì)稱的.性質(zhì)12設(shè)可逆，若是對(duì)稱矩陣，則為對(duì)稱矩陣.證明所以，為對(duì)稱矩陣.性質(zhì)13若為階反對(duì)稱矩陣，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，仍為反對(duì)稱矩陣；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為對(duì)稱矩陣.證明由性質(zhì)3知，又,由性質(zhì)4得，.所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，,此時(shí)是對(duì)稱方陣;當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)是反對(duì)稱方陣.性質(zhì)14上（下）三角矩陣的伴隨矩陣仍為上（下）三角矩陣.6證明設(shè),當(dāng)時(shí)，.6直接計(jì)算得，,.即,則亦為上三角矩陣

8、.同理可證，若為下三角矩陣，則也為下三角矩陣.推論2.2對(duì)角矩陣的伴隨矩陣仍為對(duì)角矩陣.性質(zhì)1