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《伴隨矩陣的性質(zhì)探討》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第二章伴隨矩陣的性質(zhì)探討前言 伴隨矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，但教材中及大學(xué)學(xué)習(xí)中所給出的主要應(yīng)用是在求方陣的逆矩陣上，而關(guān)于伴隨矩陣本身的性質(zhì)及其與原矩陣之間的關(guān)聯(lián)，沒(méi)有系統(tǒng)的討論和研究．本文主要通過(guò)查找現(xiàn)有資料，整理歸納出伴隨矩陣的一系列性質(zhì)．主要研究?jī)?nèi)容：階矩陣的伴隨矩陣的行列式與秩；階矩陣的伴隨矩陣的可逆性，對(duì)稱性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其與原矩陣的關(guān)聯(lián)；伴隨矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)以及各性質(zhì)在題目中的綜合應(yīng)用．一．伴隨矩陣的定義設(shè)是ｎ階矩陣 中元素的代數(shù)余子式，稱矩陣 為的伴隨矩陣． 相關(guān)內(nèi)容：《高等代數(shù)》（王萼芳 石生明版）
2、定義９在一個(gè)ｎ階行列式Ｄ中任意選定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），當(dāng)Ｋ＜ｎ時(shí)，在Ｄ中劃去這Ｋ行Ｋ列后余的元素按原來(lái)的次序組成的ｎ－ｋ級(jí)行列式稱為Ｋ級(jí)子式Ｍ的余子式，其中Ｋ級(jí)子式Ｍ為選定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成的一個(gè)Ｋ級(jí)行列式．如果在前面加上符號(hào)后稱作Ｍ的代數(shù)余子式．6一．伴隨矩陣的性質(zhì)設(shè) 2.1伴隨矩陣的基本性質(zhì)定理2.1 ?。铍A矩陣可逆的充分必要條件是非退化（即），當(dāng)可逆時(shí)，，其中為的伴隨矩陣．性質(zhì)１設(shè)為的伴隨矩陣，則證明：由行列式按一行（列）展開(kāi)的公式 可得 注：可逆時(shí)，證畢．2.2 伴隨矩陣的行列式性質(zhì)2證明:(i)若可逆，則
3、，6由性質(zhì)１得，,兩邊同時(shí)取行列式得，即，又,則（ii）若不可逆，則綜上所述，． 證畢．2.3伴隨矩陣的秩的性質(zhì)研究矩陣的秩是矩陣的重要特征定義：設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于0的ｒ階子式Ｄ，且所有ｒ＋１階子式（如果存在的話）全等于0，那么Ｄ稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)ｒ稱為矩陣的秩，記做．如以下例題：求矩陣的秩．解：由＝，的一個(gè)二階子式故．6定理2.3矩陣的行列式為零的充分必要條件是的秩小于.(《高等代數(shù)》王萼芳石生明版)性質(zhì)3若用表示矩陣的秩,則有以下結(jié)論:設(shè)是階矩陣,則證明:①時(shí),顯然由性質(zhì)2知,故②時(shí),由定理知,性質(zhì)1知,即和的列向量全都為方程組的解,又,則其次方程
4、組的解向量組的和為.知的列秩為1,即.③,中任一元素都是0,因?yàn)橹胁淮嬖诜橇愕碾A子式,故 證畢．2.4伴隨矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)46為n階矩陣,為的伴隨矩陣,則有,特別情況有:當(dāng)時(shí),.證明:()i)當(dāng)可逆時(shí),;又由性質(zhì)1知,所以,(兩邊同時(shí)左乘)(ii)當(dāng)不可逆時(shí),,.綜上所述,. 證畢．2.5n階矩陣的伴隨矩陣的可逆性可逆的定義:n階矩陣稱為可逆的,如果有n階矩陣使得.． 伴隨矩陣可逆性與原矩陣的可逆性有以下聯(lián)系： 6 性質(zhì)５ 可逆的充分必要條件是可逆． 證明：必要性． 由性質(zhì)１知，．若可逆，則非退化，即. 兩邊同時(shí)消去
5、,得. 由以上的可逆定義可知 是可逆的． 充分性． 即證可逆，則可逆，此命題與其逆否命題＂若不可逆，則也不可逆＂是等價(jià)的． 由矩陣不可逆可知,則變?yōu)樽C明若,則． 這里我們用反正法． 假設(shè),則可逆．由性質(zhì)１知０（兩邊同時(shí)右乘）有０ 得＝0，所以=0，所以與假設(shè)的矛盾．故假設(shè)不成立，原命題成立．綜上所述，可逆的充分必要條件是可逆． 證畢．2.6n階矩陣的伴隨矩陣的對(duì)稱性對(duì)稱定義：矩陣為對(duì)稱矩陣，如果，6，且有． 性質(zhì)６．若ｎ階矩陣是對(duì)陣矩陣，則其伴隨矩陣也為對(duì)稱矩陣．證明如下： 設(shè)為對(duì)稱矩陣，可知,，
6、且，可知.即證得為對(duì)稱矩陣． 證畢． 性質(zhì)７．設(shè)非退化，若為對(duì)稱矩陣，則也為對(duì)稱矩陣．即證．證明如下：對(duì)稱可知． 即為對(duì)稱矩陣． 證畢． 2.7伴隨矩陣與原矩陣的正定性之間的聯(lián)系矩陣正定的定義：實(shí)對(duì)稱矩陣為正定的，如果二次型正定． 又有，實(shí)二次型正定，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)都有． 性質(zhì)８若ｎ階矩陣是正定的，則也是正定的． 證明：因?yàn)槭钦ǖ?，所以存在可逆矩陣，使得 ? 則6 又 由正定的定義知也是正定矩陣． 證畢．2.8伴隨矩陣的正交性與其原矩陣n階矩陣的正交性的
7、關(guān)系矩陣正交的定義：n階實(shí)數(shù)矩陣稱為正交矩陣，如果．性質(zhì)9若為正交矩陣，則也為正交矩陣． 證明：為正交矩陣，知， 由正交的定義知，也為正交矩陣． 證畢． 2.9伴隨矩陣的特征值的性質(zhì)性質(zhì)10設(shè)為n階矩陣（可逆）的特征值，則其伴隨矩陣的特征值與的關(guān)系為． 證明：設(shè)是的特征值，是的屬于特征值的特征向量． 則有 兩邊同時(shí)左乘有 由性質(zhì)１知上式變?yōu)椤 〉? 由的特征值的性質(zhì)可知 即為的特征值． 證畢． 推廣： 性質(zhì)11若為ｎ階矩陣（可逆）的特征值，則其伴隨矩陣的特征
