平面彎曲梁的剛度與強度計算

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1、第8章平面彎曲梁的強度與剛度計算§8.1純彎曲時梁的正應(yīng)力§8.2常用截面二次矩平行移軸公式§8.3彎曲正應(yīng)力強度計算§8.4彎曲切應(yīng)力簡介§8.5梁的彎曲變形概述§8.6用疊加法求梁的變形小結(jié)8.1.1純彎曲試驗§8.1純彎曲時梁的正應(yīng)力一矩形等截面簡支梁AB，其上作用兩個對稱的集中力F?！罴虞d前，在CD段表面畫些平行于梁軸線的縱向線和垂直于梁軸線的橫向線。☆加載后，由剪力圖和彎距圖可知AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上同時有剪力和彎矩，這種彎曲稱為橫彎曲（或稱剪切彎曲）?！钤谥虚g段CD段內(nèi)的各橫截面上，

2、只有彎矩，沒有剪力，這種彎曲稱為純彎曲?！?.1純彎曲時梁的正應(yīng)力☆縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。凸邊的縱向線伸長，凹邊的縱向線縮短。☆橫向線仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過一個微小角度，并與縱向線垂直?！盍旱母叨炔蛔?，而梁的寬度在伸長區(qū)內(nèi)，有所減少，在壓縮區(qū)內(nèi)，有所增大?！?.1純彎曲時梁的正應(yīng)力根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設(shè)：☆平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持為平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著截面上某一軸轉(zhuǎn)過一個角度。☆單向受力假設(shè)：梁是由無數(shù)條縱向纖維組成，各纖維之間互不擠壓（即梁的縱向截

3、面上無正應(yīng)力作用），處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)。☆結(jié)論：由以上假設(shè)可知，因梁變形后的橫截面仍與縱向線垂直，所以切應(yīng)變?yōu)榱?，橫截面上無切應(yīng)力，而只有正應(yīng)力。梁純彎曲變形時，其內(nèi)凹一側(cè)的纖維層縮短；外凸一側(cè)的纖維層伸長。二者交界處必有一層纖維既不伸長也不縮短，這一纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層是梁內(nèi)受拉區(qū)與受壓區(qū)的分界面、是橫截面上拉應(yīng)力與壓應(yīng)力的分界線。中性軸上各點的正應(yīng)力等于零，梁變形時各橫截面均繞中性軸作相對轉(zhuǎn)動。8.1純彎曲時梁的正應(yīng)力選取相距為dx的兩相鄰橫截面m-m1和n

4、-n1。8.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力分布設(shè)中性層O1O2曲率半徑為，相對轉(zhuǎn)動后形成的夾角為。距中性層處的線應(yīng)變?yōu)椋?.1）§8.1純彎曲時梁的正應(yīng)力8.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力分布當正應(yīng)力沒有超過材料的屈服極限時，(8.2)§8.1純彎曲時梁的正應(yīng)力8.1.3梁的正應(yīng)力計算取一微面積dA，作用于dA上的微內(nèi)力為。由于純彎曲時，橫截面上的內(nèi)力分量只有彎矩M而無軸力，故橫截面上所有微內(nèi)力在x軸上投影的代數(shù)和應(yīng)等于零。稱為截面對中性軸z的截面一次矩。因為故有所以令,稱為橫截面對中性軸z的彎曲截面系數(shù)，單位為

5、§8.1純彎曲時梁的正應(yīng)力（8.3）又稱慣性矩。（8.4）（8.5）稱為梁截面的抗彎剛度。整理可得純彎曲梁的正應(yīng)力計算公式：EIz。§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.1常用截面二次矩1．矩形截面設(shè)矩形截面的高為h，寬為b，過形心O作y軸和z軸。取寬為b高為的狹長條為微面積，（8.6a）（8.6b）（8.6c）（8.6d）§8.2常用截面二次矩平行移軸公式（8.7b）2.圓形截面與圓環(huán)形截面設(shè)圓形截面的直徑為d，y軸和z軸過形心O。取微面積，其坐標為y和z。（8.7a）對圓環(huán)形截面（8.8a）（

6、8.8b）§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.2組合截面二次矩平行移軸公式組合截面對軸的截面二次矩等于各組成部分對軸的截面二次矩的代數(shù)和。(8.9)平行移軸公式(8.10)圖形對任意軸的截面二次軸矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的截面二次軸矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由此可知，對所有平行軸的截面二次矩中，以通過形心軸的截面二次矩為最小。此公式的應(yīng)用條件為（1）兩對軸必須互相平行。（2）其中x、y軸必須是過形心的軸?！?.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.2組合截面二次矩平行移

7、軸公式例8.1一Ｔ形截面，求其對中性軸的截面二次矩。解將形截面視為由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ組成。（1）確定形心和中性軸的位置。（2）求各組成部分對中性軸的截面二次矩（3）T形截面對中性軸的截面二次矩為：§8.3彎曲正應(yīng)力強度計算對于脆性材料（8.12）梁的強度條件可解決三類強度計算問題：校核梁的強度、設(shè)計梁的截面尺寸和確定梁的許用載荷。梁的彎曲正應(yīng)力強度條件為：（8.11）§8.3彎曲正應(yīng)力強度計算例8.2簡支矩形木梁AB?？缍?，承受均布載荷q=3.6kN/m,木材順紋許用應(yīng)力。設(shè)梁橫截面高度之比為，試選擇梁

8、的截面尺寸。解畫出梁的彎矩圖可選取的矩形截面。8.3彎曲正應(yīng)力強度計算例8.3懸臂梁AB，型號為No.18號工字鋼。已知許用應(yīng)力，,不計梁的自重，試計算自由端集中力F的最大許可值。解畫出梁的彎矩圖由強度條件得查手冊得到No.18號工字鋼彎曲截面系數(shù)P259③§8.3彎曲正應(yīng)力強度計算例8.5已知T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸，已知鑄鐵抗拉許用應(yīng)力，抗壓許用應(yīng)力。試校核梁的強度。§8.3彎曲正應(yīng)力強度計算解（1）由靜力平衡方程求出支座反力為（2）畫出梁的彎