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1、第一節(jié)微分中值定理高等數(shù)學(xué)Ⅰ第三章復(fù)習(xí)Fermat引理有定義,如果對(duì)有那么內(nèi)的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù))()(00xUxxf,)(0存在且xf¢2推論3例證明:4三、柯西(Cauchy)中值定理特別地5這兩個(gè)錯(cuò)!柯西中值定理(1)(2)使得柯西定理的下述證法對(duì)嗎?討論不一定相同x6證作輔助函數(shù)7例證分析:結(jié)論可變形為8羅爾定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之間的關(guān)系:推廣推廣這三個(gè)定理的條件都是充分條件,換句話說,滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而
2、成立;不成立.定理也可能四、小結(jié)一個(gè)引理、三個(gè)中值定理、一個(gè)推論;9應(yīng)用三個(gè)中值定理常解決下列問題(1)驗(yàn)證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數(shù)證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運(yùn)用中值定理(幾次運(yùn)用).關(guān)鍵逆向思維,找輔助函數(shù)10思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足Lagrange定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間上.方程11練習(xí)分析且內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在設(shè),),(,],[)(babaxf122.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足Rolle定理?xiàng)l件.設(shè)13分析且內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在
3、設(shè),),(,],[)(babaxf3.14證即且內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在設(shè),),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfaf?1==定理由Rolle154.若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.16第二節(jié)洛必達(dá)法則高等數(shù)學(xué)Ⅰ第三章定義18定理1:設(shè)定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.型未定式解法:1、0019則有證明:注意,x=a有可能是f(x)和F(x)的間斷點(diǎn)故x=a只可能是可去間斷點(diǎn)20(2)使用法則時(shí)一定要注意驗(yàn)證法則的
4、條件。注意:21定理2則(3)定理1中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.22例解例解23例解:×正解:注意:不是未定式不能用L’Hospital法則!24型未定式解法:2、¥¥定理3:設(shè)立的。對(duì)其他極限過程也是成定理3)1(25例解例解26用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項(xiàng)只要是則可一直用下去;(3)每用完一次法則,要將式子整理化簡(jiǎn);(4)為簡(jiǎn)化運(yùn)算經(jīng)常將法則與等價(jià)無窮小及極限的其它性質(zhì)結(jié)合使用.(2)在用法則之前,式子是否能先化簡(jiǎn);27例5.求解:原式例6.求解:(1)n為正整數(shù)的情形.原式28例7.求(2)n不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正
5、整數(shù)k,使當(dāng)x>1時(shí),29例解30例解31例解解32注意:洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法,但與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.例解33練習(xí)解先把此定式因式分離出來34例解極限不存在洛必達(dá)法則失效.L’Hospital法則的使用條件.注用法則求極限有兩方面的局限性當(dāng)導(dǎo)數(shù)比的極限不存在時(shí),不能斷定函數(shù)比的極限不存在,其一,這時(shí)不能使用洛必達(dá)法則.35可能永遠(yuǎn)得不到結(jié)果!分子,分母有單項(xiàng)無理式時(shí),不能簡(jiǎn)化.如其實(shí):其二用法則求極限有兩方面的局限性36例解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型步驟:或37例解38例解步驟:39例解40Guan法一:化為
6、指數(shù)函數(shù)法二:取對(duì)數(shù)步驟:步驟:1lnlimlnlimln-==vuuvuvlim41例解42例解43例解44例解還有別的方法嗎?45例解數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的未定式的極限!由于是中的一種特殊情況,所以有不能用洛必達(dá)法則46練習(xí)解法一用三次洛必達(dá)法則可求得.法二結(jié)合其它方法用三次洛必達(dá)法則可求得.法三xxeexxxsinlimsin0--?求極限xxeexxxxsin1limsinsin0--=-?原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0--×=-??111=×=47練習(xí)均為正數(shù).解法一48解法二均為正數(shù).49解:原式例求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取
7、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化501.解極限不存在洛必達(dá)法則失效.思考題:以下解法對(duì)否?注意:洛必達(dá)法則的使用條件.2.解511.解思考題:以下解法對(duì)否?2.解注意:L’Hospital法則的使用條件.52四、小結(jié)一、二、三、注意但求某些未定式極限不要單一使用洛必達(dá)應(yīng)將所學(xué)方法綜合運(yùn)用.尤其是下述兩種方法,可使問題大大簡(jiǎn)化.各類未定式極限問題,洛必達(dá)法則是最常用的工具,法則,三大類未定式53(1)存在極限為非零的因子,可根據(jù)積的極限運(yùn)算法則先求出其極限.(2)凡乘積或商的非零無窮小因式,可先用簡(jiǎn)單形式的等價(jià)無窮小替換.務(wù)必記住常用的等價(jià)無窮小.54思考題問上述做法是否正確55思考題
8、解答錯(cuò)正確的做法是不一定存在.)()(