函數(shù)最值求法

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1、函數(shù)最值求法1.判別式法若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程:。在時,由于為實數(shù),則有,由此可以求出所在的范圍,確定函數(shù)的最值。例1.1已知,其中是實數(shù),則的最大值為______。解:設,由得,是方程的兩個實根.整理化簡,得,故.即的最大值為2例1.2實數(shù)滿足,設,則的值為_______。解:由題意知,,故又是方程的兩個實根.解得，即2.函數(shù)的單調(diào)性法當自變量的取值范圍為一區(qū)間時，常用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值。若函數(shù)在整個區(qū)間上是單調(diào)的,則該函數(shù)在區(qū)間端點上取到最大值或最小值。若函數(shù)在整個區(qū)間上不是單調(diào)的，則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個小區(qū)間

2、上的最值，從而可以得到整個區(qū)間上的最值。例2.1求函數(shù)的最小值和最大值。解：先求定義域，由得又，故當，且增加時，增大，而減小.于是是隨著的增大而減小，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以,例2.2求函數(shù)，的最大值和最小值。解：，令，.當時，有在上是減函數(shù)，因此，，3.均值不等式法均值不等式:設是個正數(shù),則有,其中等號成立的條件是。運用均值不等式求最值,必須具備三個必要條件,即一正二定三等,缺一不可?！罢笔侵父黜椌鶠檎龜?shù),這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成立的條件。例3.1設為自然數(shù),為實數(shù),且滿足,則的最小值是______。解:>.由均值不等式得,故當且僅當時,上式取

3、等號.故的最小值是例3.2設，，,記中最大數(shù)為M,則M的最小值為______。解:由已知條件得設中的最小數(shù)為,則M=由已知條件知,,于是所以,,且當時,,故的最小值為,從而M的最小值為注:在用均值不等式求函數(shù)的最值時,往往需要配合一定的變形技巧,才可以把問題轉化成求不等式的問題。例3.3設,則的最大值是_______。解:由,有又其中當時,上式等號成立,即時成立,故的最大值為4.換元法用換元法求函數(shù)最值,就是根據(jù)函數(shù)表達式的特點,把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達到化繁難為簡易,化陌生為熟悉,從而使原問題得解。換元法通常有三角代換和代數(shù)代換兩種。例4.1正數(shù)滿足，其中為

4、不相等的正常數(shù)，求的最小值。解：令則當且僅當，即時上式取等號.故例4.2實數(shù)適合條件，則函數(shù)的值域是_______。解：由已知可設，，其中，則當，，即時，；當，，即時，.故的值域是5.幾何法某些二元函數(shù)最值問題具有圖形背景,這時我們可以將所給函數(shù)表達式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達式,再利用幾何圖形,對函數(shù)最值作出直觀的說明和解釋。根據(jù)函數(shù)所表示的幾何意義,我們可以將函數(shù)分為以下幾種:5.1可視為直線斜率的函數(shù)的最值例5.1.1求函數(shù)的最小值。解:令,則且，于是問題轉化為:當點在上半個單位圓上運動時,求與的連線的斜率的最值(如圖).顯然,當點與點重合時,直線的斜率最小,此時.當直線

5、與上半個單位圓相切時,直線的斜率最大.設,則直線的方程為直線與上半個單位圓相切解得(舍去)或綜上可得,直線的斜率的最值為:，，5.2可視為距離的函數(shù)的最值例5.2.1函數(shù)的最大值是_______。解：將函數(shù)式變形,得可知函數(shù)的幾何意義是：在拋物線上的點分別到點和點的距離之差,現(xiàn)求其最大值.由知，當在的延長線上處時，取得最大值5.3可視為曲線截距的函數(shù)的最值例5.3.1求函數(shù)的最大值。解:令,則,且.則問題轉化為:當點在單位圓上運動時,求雙曲線族(視為常數(shù))在軸上的截距的最大值.當時,由方程得,由此可知:當時,;當時,此雙曲線族有公共的漸進線和,有公共的中心由此不難得出,當雙曲線族與

6、單位圓切于點時,縱截距取得極大值，而,故所求縱截距的極大值就是最大值.因此,所求函數(shù)的最大值為6.構造方差法設個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則其方差為顯然（當且僅當時取等號）。應用這一公式，可簡捷、巧妙地解決一些試題的最值問題。這種方法適用的范圍很廣，可以用來求函數(shù)的最值，也可以用來求某一字母的最值以及求某一代數(shù)式的最值。例6.1求函數(shù)的最大值。解：的方差是解得.故例6.2確定最大的實數(shù)，使得實數(shù)滿足：,解：由已知得,,的方差解得.故的最大值為注：對于例1，我們也可以用構造方差法來求解，解題過程如下：解法2：不妨設，則由已知,即得又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值為7.導數(shù)法設

7、函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，則在上的最大值和最小值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數(shù)的最值,以及利用其他方法很難求的函數(shù)似的最值,通常都用該方法。導數(shù)法往往就是最簡便的方法,應該引起足夠重視。例7.1求函數(shù),的最大值和最小值。解:,令,方程無解.函數(shù)在上是增函數(shù).故當時,，當時,例7.2求數(shù)列的最大項。解:設,則令,則得又,將,及加以比較,得的最大值為數(shù)列的最大項為第項,這一項的值為例7.3已知的導函數(shù)，試探究的極點和最點.解析：.有3個相異的