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《函數最值和幾種求法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、.函數最值的幾種求法新課程標準中,高中數學知識更加豐富,層次性更強,和高等教育的結合更加緊密.要想較好的完成新課標的教學任務,必須從整體上把握課程標準,運用主線知識將高中數學知識穿成串,連成片,織成網,才有利于學生更好的掌握,而函數的最值問題在整個高中教材中顯得非常重要,為了能系統(tǒng)的學好這方面的知識,本文總結歸納出八種求函數最值的常見方法.一由定義域直接求函數的最值一次函數的最大值與最小值常與它的定義域與值域有關系,即若y是x的函數,則由x的取值范圍,并且根據一次函數的單調性,就能得到y(tǒng)的最大(小)值.例1變量,,均不小于0,并滿足及,求函數的最大
2、值與最小值.解由及得,及.又由,,均不小于0,推出.再將與代入得,,它是單調遞增函數,而.所以,當時,有最小值;當時,有最大值.二用配方法求函數的最值[1]對于二次函數可以用配方法討論它的最值情況,即二次函數.當時,有最小值,即當時,;當時,有最大值,即當時,.例2設.求和.解由得,.......又因,所以當時,有最小值;當時,有最大值.例3設在區(qū)間上最小值為,求的最大值.解對關于配方得,.由已知得,當時,;當時,;當時,.因此,當時,的最大值為;當時,,且的最大值為;當時,的最大值為.三用判別式法（也稱△法）求最值判別式法就是利用二次方程有實數根
3、的充要條件來求出函數的最值.除了二次函數,對于一些常見的含有根號的無理函數,也可以利用平方法去掉根號后再根據二次函數的△法來求最值,或如果一個問題中,諸量之間的關系最后可化為以某一變量為元的二次方程的形式,便可運用判別式來求最,但要注意函數的定義域對函數的制約作用.例4[2]求函數的最值,以及函數取最值時的取值.解顯然.等式兩邊平方有,移項再平方整理得,又由,得,又因為并且......得,所以.于是當時,;當時,四換元法就是通過換元把一個復雜的函數變?yōu)楹唵魏瘮?這種題的特征是函數的解析式中含有根式.當根式為一次式時,用代數換元（直接換元）;當根式是
4、二次式時,用三角換元.例5用換元法求函數的最大值（無最小值）.解令,.所以.于是當,即時,.例6用三角換元法求函數的最值.解令,則.所以,原函數變?yōu)?又因為,故,所以,當,即,時,取得最小值;當,,時,取得最大值.五利用不等式求函數的最值基本不等式:是求函數的最值問題的重要工具.但要注意取得最值的條件“一正,二定,三相等”[3].并合理的進行拆分和配湊,靈活變形使得問題簡捷從而獲解.例7求函數的最大值.......解,而(注意,)當且僅當,即時,有最小值2.所以,當時,原函數有最大值.六利用導數求閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值利用導數研究函數的性質尤其是函
5、數的最值問題是強有力的手段.連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出的所有極值點(駐點和導數不存在的點);(2)計算并比較f(x)在所有極值點及兩個端點處的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值[4].例8求函數在閉區(qū)間上的最值.解對原函數關于求導數可得,.令,(舍去).再計算端點和導數為0點（駐點）處的函數值得,,,,.所以,當時,原函數有最小值,當時,原函數有最大值.七數形結合法求函數的最值當要求的解析式明顯具備某種幾何意義時,如兩點間的距離公式,直線斜率,直線在坐標軸上的截距等等.可以利用數形結合來求它的最值.例9[5]求
6、函數的最大值和最小值.解因為,現(xiàn)令.則易知表示一定點A（2,0）與單位圓上的動點連線的斜率的大小.如（圖1）.對于L1有:,對于L2有:,所以,當時,;當時,.......（圖1）（圖2）例10例4解法二.解令,,則原函數可化為.此時原問題轉化為曲線與直線有公共點時,在軸上截距的最值.如(圖2).顯然可得,當直線過（,0）點,即時,在軸上的截距取得最小值;當直線與曲線相切,即(因為曲線上任一點切線斜率為,要使直線與曲線相切則,即,所以由得,.于是,)時,在軸上的截距取得最大值.八構造向量求函數最值向量具有代數和幾何的雙重性.用向量法解決代數問題的關
7、鍵是善于觀察問題的結構,挖掘代數結構的向量模型,構造合適的向量,把原有問題轉化為向量問題求解,它是一種重要的數學思維方法.例11在上,求函數的最值.解令向量,,則
8、,.令向量與的夾角為,再令,,則.如(圖3),向量的終點落在以原點為心,為半徑的圓周上,因為的幅角為.故兩向量的夾角,所以.從而,......,其中,,故.(圖3)所以,當時,即,其解為或（取正值,因為）,即當時,;當時,即（即向量與共線）,其解為(取正值,因為),亦即當時,.總結:通過以上幾種函數最值求法的總結歸納,可以對一些有關的題目進行解答,尤其是一些綜合性強的題目,可以達到事半功
9、倍的作用.函數是中學數學的主要內容.幾乎可以用函數為綱,把中學數學各方面內容有機結合起來,許多數學綜合題,可以轉化為函數的
