3、，很容易設(shè)想出以下兩種分法：(1)A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元;(2)A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;第1種分法考慮到A、B兩人賭技相同，就平均分配，沒有照顧到A已經(jīng)比B多贏1局這一現(xiàn)實，顯然對A是不公平的。第2種分法不但照顧到“A、B兩人賭技相同”這一前提，還尊重了已經(jīng)進行的三局比賽結(jié)果，當然更公平一些。但是，第2種分法還是沒有考慮到如果繼續(xù)比賽下去的話會出現(xiàn)什么情形，即沒有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對比賽結(jié)果的一種期待。A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、B勝1局)與上
4、述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局:AAABBABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAABBABBA勝B負A勝B負A勝B負B勝A負B勝A負A勝B負B勝A負B勝A負因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的這種分法自然比前兩種方法都更為合理，使雙方都樂于接受。這就是“數(shù)學期望”這個名字的由來。因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機變量X為:在A勝2局B勝
5、1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:引例2加權(quán)平均成績?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績.設(shè)某學生四年大學各門功課成績分別為其學分分別為,則稱這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均顯然算術(shù)平均成績是加權(quán)平均成績的一種為該生的加權(quán)平均成績.,可見加權(quán)平均才充分的體現(xiàn)了特例,即平均值的意義.這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均通過上述2個引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機變量的數(shù)學期望若級數(shù),則稱絕對收斂,即級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期望,記為E?X?,即定義1設(shè)離散型隨機變量X?的分布律為X的分布律為E(X)=比如0-1分
6、布的期望為p注1oE?X?是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.注2o級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運動員,現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運動會,根據(jù)過去的記錄顯示,二人的技術(shù)水平如下:乙射手甲射手試問哪個射手技術(shù)較好?例1選拔運動員解運動員的水平是通過其平均水平來衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手
7、乙射手解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P???的數(shù)學期望為?.設(shè)X?,且其分布律為設(shè)隨機變量X?P(?),求E?X?.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的引出設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點x08、連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義定義2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為則稱為隨機變量X的數(shù)學期望,f?x?,記為E?X?,即例3(均勻分布)解則有4.常見連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望設(shè)隨機變量X服從均勻分布,因而均勻分布數(shù)學期望位于區(qū)間的中點.
