導(dǎo)數(shù)中的任意性與存在性問題探究

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1、函數(shù)中任意性和存在性問題探究高考中全稱命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點，下面結(jié)合高考試題對此類問題進行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：€[a,/?],Vx2G[c,d],)>g(x2)?[/(^)]min〉[g(x)]max；【如圖一】結(jié)論2：3xjG[a,b]93x2G[c9d],f(x{)>g(x2)[/(x)]max>[g(x)]min;【如圖二】結(jié)論3：Vxjg[a,b],3x2€[c?J],/(Xj)>g(x2)<=>[f(x)]min>[^(x)]min；【如圖三】結(jié)論4：3Xjg[?,/?],Vx2g[c,dlf(x})>g(x2)<

2、=>[/(x)]max〉[&(兀)]叭；【如圖四】結(jié)論5:北w[d,b],女2丘匕〃]，/3)=8(兀2)0/(兀)的值域和g(x)的值域交集不為空;【如圖五】g(x)±K(“)上隈flx)下fR用二g(x)±K/(")下厲心)上限(g(x)Tfn圖三圖匹圖五例題1：己知兩個函數(shù)/(x)=8x2+16x-R,g(兀)=2x3+5兀$+4x,xe[-3,3],^eR;(1)若對Vxe[-3,3],?有/(x)

3、g)成立，求實數(shù)￡的収值范圍；解：(1)設(shè)〃(兀)=g(x)~f(x)=2x3一3〒一12兀+匕(1)中的問題可轉(zhuǎn)化為:xg[-3,3]時,h(x)>0恒成立，即[/?(x)]min>0oh(x)=6x2-6x-12=6(%-2)(x+l)；當兀變化時，/?(%),/?'(%)的變化情況列表如K：■3(-3,-1)■1(-1,2)2(2,3)3力'(X)+0—0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為/2(_i)=k+7/(2)=k-20,所以，由上表可知[/2(兀)]斷=比-45,故k-4530,得k245,即kG[45,+8).小結(jié)：①對于

4、閉區(qū)間I,不等式f(x)[f(x)]maxk對XEI吋恒成立O[f(x)]min>k,XeI.②此題常見的錯誤解法：由[f(X)]nwx^[g(X)]min解岀k的収值范圍.這種解法的錯誤在于條件“貞刃]喚￡[亦)爲”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價.(2)根據(jù)題意可知，(2)屮的問題等價于h(x)=g(x)—f(x)20在xW[?3,3]時有解，故[1訛)]喚M0.由(1)可知[h(x)]max=k+7,因此k+7N0,即ke[-7,+oo).(3)根據(jù)題意可知,(3)中的問題等價于[f(

5、x)]niax^[g(x)]niin,xW[?3,3].由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得,xW[?3,3]時,[f(x)]inax=120-k.仿照(1),利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得XG卜3,3]時，[g(X)]min=—21.由120—kM—21得心41,即kW[141,+8).說明：這里的X

6、,X2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程町以看出，對于一個不等式一定耍看清是對“Vx”恒成立，還是“mx”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量，然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件，「萬不要稀里糊涂的去猜??—a例題2：(2010年山

7、東理科22)己知函數(shù)/(X)=lnx-Q+l(a€R);⑴當a<-時，討論/(勸的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)=x2-2bx+4,當a=*時，若對Vx,g(0,2),3x2g[1,2],使/(x,)>^(x2),求實數(shù)b的取值范圍;解：(1)(解答過程略去，只給出結(jié)論)當aWO時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；當玄=丄時,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;當0

8、—罕已~,a=—Ihf,由廣(x)=0可得Xi=1,X2=3.xxJC4因為a=丄丘(0,-),X2=3纟(0,2),結(jié)合(1)可知函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)42上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(l)=2由于“對Vx￡(0,2),3x2e[l,2],^f(x1)^g(x2)w等價于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值f(l)=-丄二俁)又g(x)=(x-b)2+4-b2,xe[l,2],^r以①當b0,此時少X)矛盾；②當be[l,2]時，因為

9、[g(x)hin=4—b