概率論課件協(xié)方差與相關系數(shù).ppt

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資源描述:

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1、4.4協(xié)方差與相關系數(shù)1.定義4.4設(X,Y)是二維隨機變量,若X的E(X),D(X)和Y的E(Y),D(Y)都存在,則稱cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,記作cov(X,Y),易見cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).當cov(X,Y)=0時,稱X與Y不相關。4.4.1.協(xié)方差2.協(xié)方差性質(zhì)(1)cov(X,Y)=cov(Y,X);(2)cov(X,X)=D(X);cov(X,c)=0(3)cov(aX,bY)=abcov(X,Y),其中a,b為常數(shù);(4)cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);(5)

2、D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y).當X與Y相互獨立時,顯然有D(X±Y)=D(X)+D(Y)例1設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為試求cov(X,Y),并討論X與Y是否相互獨立。解先求X與Y的邊緣概率密度.類似有再求cov(x,y)。容易求得cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0此例說明,cov(X,Y)=0時,X與Y不一定相互獨立。當cov(X,Y)=0時,稱X與Y不相關。顯然,若X與Y相互獨立,則它們必不相關;但若X與Y不相關,則它們未必相互獨立。定理4.1(Cauchy_Schwarz不等式)證考慮實變量t的函數(shù)其中,取U=X-E(X)

3、,V=Y-E(Y),則有例2設隨機變量X?B(12,0.5),Y?N(0,1),cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差.解從而4.4.2.相關系數(shù)1.定義4.5若X,Y的方差和協(xié)方差均存在,且D(X)>0,D(Y)>0,則稱為X與Y的相關系數(shù).2.相關系數(shù)的性質(zhì)(1)

4、?XY

5、?1;(2)

6、?XY

7、=1?存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1(3)X與Y不相關??XY=0;例1.設(X,Y)服從區(qū)域D:0

8、若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關。即X,Y不相關與X,Y相互獨立是等價的.

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