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《李鐵成微積分講義11.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、引言2012-2013年秋季學(xué)期第1周學(xué)習(xí)材料（一）微積分所關(guān)心的問(wèn)題――變化與運(yùn)動(dòng)；其核心問(wèn)題――極限。在系統(tǒng)學(xué)習(xí)之前，我們首先瀏覽一下微積分中兩個(gè)基本問(wèn)題，從而建立一個(gè)宏觀的感覺(jué)是極其有益的。0.1面面面積積積問(wèn)問(wèn)問(wèn)題題題如何求以x軸、曲線y=x2及直線x=1所圍曲邊梯形A的面積S？2500年前的古希臘人用"切分"的方法計(jì)算區(qū)域的面積。如圖，將[0;1]進(jìn)行n等分，然后在A內(nèi)做出相應(yīng)的小矩形，則這些小矩形的面積和為n∑?1()n∑?1()21i1if=nnnni=0i=0當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，這些小矩形的面積和越來(lái)越接近一數(shù)值，我們稱(chēng)此值為
2、A的面積，記作n∑?1()21iS=limn→+∞nni=0面積問(wèn)題引出了微積分中一個(gè)分支――積分學(xué)。0.2切切切線線線問(wèn)問(wèn)問(wèn)題題題考慮方程為y=f(x)的曲線。求它在點(diǎn)P(a;f(a))處的切線T滿足的方程（關(guān)于切線確切的定義將在以后給出，目前你將它暫時(shí)理解為在P點(diǎn)接觸曲線的直線，如圖。）由于切線經(jīng)過(guò)曲線上的點(diǎn)P，所以要寫(xiě)出直線T的方程，只要知道它的斜率m即可。如何求m?我們首先在曲線上取P附近一個(gè)點(diǎn)Q(x;f(x))，計(jì)算割線PQ的斜率mPQ，由圖可見(jiàn)f(x)?f(a)mPQ=x?a想象點(diǎn)Q沿著曲線向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)（如圖所示），則割線PQ的
3、斜率mPQ越來(lái)越接近于切線T的斜率m，即m=limmPQQ→P由于Q趨于P點(diǎn)時(shí)，有x趨于a，于是f(x)?f(a)m=limx→ax?a切線問(wèn)題引出了微積分中一個(gè)分支――微分學(xué)，但這比積分學(xué)的發(fā)明完了2000年。微積分的思想主要?dú)w功于法國(guó)數(shù)學(xué)家Fermat(1601-1665)，并由英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton(1642-1727)、德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz(1646-1716)發(fā)展起來(lái)的。微積分中的兩個(gè)分支（積分學(xué)與微分學(xué)）極其基本問(wèn)題（面積與切線）表面上相去甚遠(yuǎn)，然而它們是密切相關(guān)的。正如以后將指出的，面積問(wèn)題與切線問(wèn)題在一定意義上互為逆問(wèn)
4、題。Newton發(fā)明微積分是為了解釋行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，今天微積分被廣泛用于計(jì)算衛(wèi)星和航天器的軌道，預(yù)測(cè)人口規(guī)模的變化，計(jì)算物價(jià)的漲落，預(yù)報(bào)天氣、計(jì)算人壽保險(xiǎn)的貼率等等。1第1章實(shí)數(shù)與函數(shù)1符符符號(hào)號(hào)號(hào)R表示實(shí)數(shù)集合;?表示“任取”或“任意給定”――Any;?表示“存在”或“能夠找到”――Exist;=:表示“定義”或“規(guī)定”;設(shè)>0，N?(x;)=:{x∈R
5、0<
6、x?x
7、<}，稱(chēng)N?(x;)為點(diǎn)x的一個(gè)空心鄰域;0000設(shè)>0，N(x0;)=:{x∈R
8、
9、x?x0
10、<}，稱(chēng)N(x0;)為點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域。2實(shí)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)數(shù)
11、集集集的的的界界界與與與確確確界界界設(shè)E是實(shí)數(shù)集的一個(gè)非空子集。如果?b∈R，使得?x∈E，都要x≤b，則稱(chēng)b是E的一個(gè)上界，此時(shí)稱(chēng)集合E有上界;如果?a∈R，使得?x∈E，都要x≥a，則稱(chēng)a是E的一個(gè)下界，此時(shí)稱(chēng)集合E有下界;如果?q∈E，使得?x∈E，都要x≤q，則稱(chēng)q是E的最大值，此時(shí)記q=maxE;如果?p∈E，使得?x∈E，都要x≥p，則稱(chēng)p是E的最小值，此時(shí)記q=minE.易知，如果b是E的一個(gè)上界，b+1;b+2;···都是E的上界。問(wèn)問(wèn)問(wèn)題題題:非空有上界集合E是否總有一個(gè)“最小的上界”？（“最小的上界”通常稱(chēng)為上確界）定
12、義（上確界）設(shè)E?R，E?=?.如果?b∈R，使得(i)b是E的一個(gè)上界，即?x∈E，都有x≤b；(ii)b是E的最小的上界，即?~b~~b.則稱(chēng)b是E的上確界。注1上確界定義中（ii）等價(jià)于說(shuō)：若^b是E的一個(gè)上界，則^b≥b.注2若b也是E的上確界，則由注1知b≥b;b≥b;因此b=b.故知，集合E的上確界如果存在，就必定唯一。記這個(gè)唯一的上確界為supE.(supremum)類(lèi)似地可定義下確界。定義（下確界）設(shè)E?R，E?=?.如果?a∈R，使得(i)a是E的一
13、個(gè)下界，即?x∈E，都有x≥a；(ii)a是E的最大的下界，即?a>a~，則a~不再是E的下界，也即?a>a~，?x~∈E，使得x<~a~.則稱(chēng)b是E的下確界。注1下確界定義中（ii）等價(jià)于說(shuō)：若a^是E的一個(gè)下界，則a^≤a.注2集合E的下確界如果存在，就必定唯一。記這個(gè)唯一的上確界為infE.(in mum)2定理（確界的存在性）(1)若E?R，E?=?，且E有上界，則E有上確界；(2)若E?R，E?=?，且E有下界，則E有下確界。上述定理涉及到實(shí)數(shù)理論，在此略去證明。√√例設(shè)E={x∈R
14、x2<2}，則supE=2;infE=?2.
15、練習(xí)1.設(shè)E?R，E?=?.則E有上界??E=:{?x
16、x∈E}有下界。2.設(shè)E?R，E?=?.則E有下確界??E}有上確界，此時(shí)infE=?sup(?E)。3函函函數(shù)數(shù)數(shù)的的的基基基本本本概
