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1、引言2012-2013年秋季學期第1周學習材料（一）微積分所關(guān)心的問題――變化與運動；其核心問題――極限。在系統(tǒng)學習之前，我們首先瀏覽一下微積分中兩個基本問題，從而建立一個宏觀的感覺是極其有益的。0.1面面面積積積問問問題題題如何求以x軸、曲線y=x2及直線x=1所圍曲邊梯形A的面積S？2500年前的古希臘人用"切分"的方法計算區(qū)域的面積。如圖，將[0;1]進行n等分，然后在A內(nèi)做出相應的小矩形，則這些小矩形的面積和為n∑?1()n∑?1()21i1if=nnnni=0i=0當n越來越大時，這些小矩形的面積和越來越接近一數(shù)值，我們稱此值為
2、A的面積，記作n∑?1()21iS=limn→+∞nni=0面積問題引出了微積分中一個分支――積分學。0.2切切切線線線問問問題題題考慮方程為y=f(x)的曲線。求它在點P(a;f(a))處的切線T滿足的方程（關(guān)于切線確切的定義將在以后給出，目前你將它暫時理解為在P點接觸曲線的直線，如圖。）由于切線經(jīng)過曲線上的點P，所以要寫出直線T的方程，只要知道它的斜率m即可。如何求m?我們首先在曲線上取P附近一個點Q(x;f(x))，計算割線PQ的斜率mPQ，由圖可見f(x)?f(a)mPQ=x?a想象點Q沿著曲線向點P運動（如圖所示），則割線PQ的
3、斜率mPQ越來越接近于切線T的斜率m，即m=limmPQQ→P由于Q趨于P點時，有x趨于a，于是f(x)?f(a)m=limx→ax?a切線問題引出了微積分中一個分支――微分學，但這比積分學的發(fā)明完了2000年。微積分的思想主要歸功于法國數(shù)學家Fermat(1601-1665)，并由英國數(shù)學家Newton(1642-1727)、德國數(shù)學家Leibniz(1646-1716)發(fā)展起來的。微積分中的兩個分支（積分學與微分學）極其基本問題（面積與切線）表面上相去甚遠，然而它們是密切相關(guān)的。正如以后將指出的，面積問題與切線問題在一定意義上互為逆問
4、題。Newton發(fā)明微積分是為了解釋行星圍繞太陽的運動，今天微積分被廣泛用于計算衛(wèi)星和航天器的軌道，預測人口規(guī)模的變化，計算物價的漲落，預報天氣、計算人壽保險的貼率等等。1第1章實數(shù)與函數(shù)1符符符號號號R表示實數(shù)集合;?表示“任取”或“任意給定”――Any;?表示“存在”或“能夠找到”――Exist;=:表示“定義”或“規(guī)定”;設>0，N?(x;)=:{x∈R
5、0<
6、x?x
7、<}，稱N?(x;)為點x的一個空心鄰域;0000設>0，N(x0;)=:{x∈R
8、
9、x?x0
10、<}，稱N(x0;)為點x0的一個鄰域。2實實實數(shù)數(shù)數(shù)
11、集集集的的的界界界與與與確確確界界界設E是實數(shù)集的一個非空子集。如果?b∈R，使得?x∈E，都要x≤b，則稱b是E的一個上界，此時稱集合E有上界;如果?a∈R，使得?x∈E，都要x≥a，則稱a是E的一個下界，此時稱集合E有下界;如果?q∈E，使得?x∈E，都要x≤q，則稱q是E的最大值，此時記q=maxE;如果?p∈E，使得?x∈E，都要x≥p，則稱p是E的最小值，此時記q=minE.易知，如果b是E的一個上界，b+1;b+2;···都是E的上界。問問問題題題:非空有上界集合E是否總有一個“最小的上界”？（“最小的上界”通常稱為上確界）定
12、義（上確界）設E?R，E?=?.如果?b∈R，使得(i)b是E的一個上界，即?x∈E，都有x≤b；(ii)b是E的最小的上界，即?~b~~b.則稱b是E的上確界。注1上確界定義中（ii）等價于說：若^b是E的一個上界，則^b≥b.注2若b也是E的上確界，則由注1知b≥b;b≥b;因此b=b.故知，集合E的上確界如果存在，就必定唯一。記這個唯一的上確界為supE.(supremum)類似地可定義下確界。定義（下確界）設E?R，E?=?.如果?a∈R，使得(i)a是E的一
13、個下界，即?x∈E，都有x≥a；(ii)a是E的最大的下界，即?a>a~，則a~不再是E的下界，也即?a>a~，?x~∈E，使得x<~a~.則稱b是E的下確界。注1下確界定義中（ii）等價于說：若a^是E的一個下界，則a^≤a.注2集合E的下確界如果存在，就必定唯一。記這個唯一的上確界為infE.(in mum)2定理（確界的存在性）(1)若E?R，E?=?，且E有上界，則E有上確界；(2)若E?R，E?=?，且E有下界，則E有下確界。上述定理涉及到實數(shù)理論，在此略去證明?！獭汤OE={x∈R
14、x2<2}，則supE=2;infE=?2.
15、練習1.設E?R，E?=?.則E有上界??E=:{?x
16、x∈E}有下界。2.設E?R，E?=?.則E有下確界??E}有上確界，此時infE=?sup(?E)。3函函函數(shù)數(shù)數(shù)的的的基基基本本本概
