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1、數(shù)學竟賽培訓資料(理工)第六講曲線積分（一）內容要點及重要方法提示2221.第一型(對弧長)曲線積分.弧微分dsdxdydzdl.注意無方向問題,一般計算程序:畫出積分路徑的圖形;將路徑用參數(shù)式表示;表dl為參變量的微分式后化成定積分計算.(1)化成參變量的定積分計算.22xycz例6.1.設c>0為常數(shù),L:.求L上從原點到點A(x0,y0,z0)的弧長.zyxtanczz2zc解.L的參數(shù)方程是:xczcos,yczsin,zz,弧微分dsdz,因此所求弧長cc4czz02z0sdscz（013c）.02222例6.2.計算均勻密度的球面xyza(a0)在第一卦限部分的邊界
2、曲線的重心坐標.解.邊界曲線的三段弧分別有參數(shù)方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=asinφ,0≤φ≤π∕2.224a曲線周長s=3aπ∕2,及sxacosadacosad,于是重心坐標xyz3.00(2)第一型曲線積分的對稱性用法.222222例6.3.計算積分I=ydl,其中L:(xy)a(xy),a>0.L4222222解.用極坐標,L:rar(cossin)racos2.根據(jù)對稱性得積分42222I=4rsinr[r()]d4a(12).02222x例6.4.設
3、L是順時針方向橢圓y1,周長為l,則(xyx4y)ds=.(2001天津賽)4L2222x解.4y1x4y4,根據(jù)對稱性得積分=4l.2.第二型(對坐標)曲線積分.PdxQdyRdzFdlCC注意有方向問題,一般計算方法有:化成參變量的定積分計算;應用格林公式或斯托克斯公式;利用與路徑無關條件計算.(1)化成參變量的定積分計算.22例6.5.設L為正向圓周xy2在第一象限中的部分,則曲線積分xdy2ydx=.L解.L:x2cos,y2sin,:0.于是有積分=3π∕2.222222222例6.6.設C是從球面xyza上任一點到球面xyzb上任一點的任一光1/53222滑曲線(a
4、>0,b>0),計算積分I=r(xdxydyzdz),其中rxyz.Lb3155解.rdr=xdx+ydy+zdz,I=rrdr(ba).5a(2)格林公式的應用(注意條件).當L不閉合時,應添加光滑曲線使其閉合后再用格林公式.例6.7.設L是分段光滑的簡單閉曲線,(2,0)、(2,0)兩點不在L上.試就L的不同情形分別計算如yy2x2x下曲線積分的值:I[2222]dx[2222]dy.(1991上海競賽)L(2x)y(2x)y(2x)y(2x)y解.令A(2,0),B(2,0),L包圍的平面區(qū)域內部為D,記yy2x(2x)GDL,P1(2x)2y2,P2(2x)2y2,Q1
5、(2x)2y2,Q2(2x)2y2,PP1P2,QQ1Q2.2222P1(2x)yQ1P2(2x)yQ2則,.y[(2x)2y2]2xy[(2x)2y2]2x(1)A、B均為G的外點,根據(jù)格林公式有I=0.(2)A為G的內點,B為G的外點,則以A為中心作半徑r充分小的閉圓盤E含于D內,記E的正向邊界為C,有QPI=(xy)dPdxQdy0P1dxQ1dyP2dxQ2dyLCCCCCDE=P1dxQ1dy,且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=2π.C(3)A為G的外點,B為G的內點,同理可得I=2π.(4)A、B均為G的內點,與(2)相仿,在D內分別
6、以A、B為中心作半徑r充分小的閉圓盤使它們的并集含于D內,仍用格林公式可得I=4π.(3)積分與路徑無關的問題.21yf(xy)x2例6.8.設函數(shù)f(x)在(∞,+∞)內具有連續(xù)導數(shù),求積分ydx2[yf(xy)1]dy,其中CCy是從點A(3,2∕3)到點B(1,2)的直線段.(1994北京競賽)解.積分與路徑無關,因此積分為212234212332[19f(3x)]dx23y2[yf(y)1]dy32f(u)du23f(y)dy14.(4)求原函數(shù)問題.例6.9.設函數(shù)Q(x,y)在xOy平面上具有連續(xù)一階騙導數(shù),曲線積分2xydxQ(x,y)dy與路徑無L(t,1)(1
7、,t)關,并且對任意的t恒有2xydxQ(x,y)dy2xydxQ(x,y)dy,求Q(x,y).(2001天津)(0,0)(0,0)Q(2xy)2解.因積分與路徑無關,有xy2x,Q(x,y)xC(y),其中C(y)為待定函數(shù).又(t,1)11222xydxQ(x,y)dy[tC(y)]dytC(y)dy,(0,0)00(1,t)tt1t22xydxQ(x,y)dy[1C(y)]dytC(y)dy,對tC(y)dytC(y)dy的(0,0)00002兩邊關于t求導得2t=1+C(t),由此
