函數(shù)凸性定理.docx

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1、性質(zhì)定理若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，則若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則證明：若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，如下圖點P（）在f(x)上設(shè)過P點的切線方程為：y=ax+b則（1）∵f(x)是凹函數(shù)，切線在函數(shù)圖像下方∴;;…;∴(2)由（1），（2）得若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，如下圖點P（）在f(x)上設(shè)過P點的切線方程為：y=ax+b則（1）∵f(x)是凸函數(shù)，切線在函數(shù)圖像上方∴;;…;∴(2)由（1），（2）得定理證明過程要結(jié)合圖像形象理解，也便于掌握。下面證明均值不等式和高斯不等式。均值不等式：（）證明：∵y=lgx是凸函數(shù)∴∴即

2、（）高斯不等式：（）證明：∵(x>0)是凹函數(shù)∴即（）以上兩個不等式的證明，非常簡明，下面再舉幾個性質(zhì)定理應用的例子。例1A、B、C為三角形三內(nèi)角，求證sinA+sinB+sinC≤證明：∵A、B、C為三角形三內(nèi)角∴A+B+C=πA>0B>0C>0又∵y=sinx(0

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