函數(shù)的凸性及應(yīng)用開題報告

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1、開題報告函數(shù)的凸性及應(yīng)用一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）凸函數(shù)具有一些非常優(yōu)良的性質(zhì)[1],有著較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen首次給出了凸函數(shù)的定義，開創(chuàng)了凸函數(shù)研究的先河，經(jīng)過近百年努力，凸函數(shù)的研究在各個方面正得到長足的發(fā)展，其中，凸函數(shù)的判據(jù)研究已接近完善，在現(xiàn)代學(xué)習(xí)和生活中的重要性已經(jīng)不斷的凸顯出來。凸分析是近年來凹凸函數(shù)發(fā)展起來的一門應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)支，尤其是在最優(yōu)化理論方面的應(yīng)用更為突出，人們對凸

2、分析的自身理論發(fā)展也進(jìn)行了廣泛的深入研究，使得凸函數(shù)的性質(zhì)也得到了較好的發(fā)展。在凸規(guī)劃理論、尤其是非線性最優(yōu)化中，函數(shù)的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年來，研究函數(shù)各種凸性的文獻(xiàn)越來越多。凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)。對函數(shù)凹凸性的研究，在數(shù)學(xué)的多個分支都有用處。特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面，凸函數(shù)都有著十分重要的作用。同樣凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念，它涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用，而且在現(xiàn)代優(yōu)化學(xué)、運籌學(xué)、管理學(xué)、和工程測繪學(xué)等多個學(xué)科有著重要的意義。函數(shù)凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在

3、求最值、不等式的證明上。不等式的證明方法很多，技巧性強，函數(shù)凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的構(gòu)造凸函數(shù)，可以簡單輕快得證明不等式。凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景,一些常見的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出。在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無可替代的。與凸函數(shù)有關(guān)的不等式是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論的重要工具，尤其在不等式的證明中發(fā)揮的作用是無可替代的，其中Jensen不等式與Hadamard不等式更是起到了重要的作用。Jensen不等式通常用來證明有限不等式，它是將無窮項

4、求和與積分聯(lián)系起來的重要橋梁。利用Hadamard不等式可以對兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)加細(xì)。凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的凸性，不僅可以科學(xué)、準(zhǔn)確的描述函數(shù)的圖像，而且也有證明不等式的凸函數(shù)方法，同時，凸函數(shù)也是優(yōu)化問題中重要的研究對象，它研究的內(nèi)容非常豐富，研究的結(jié)果也在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題5本文首先對凸函數(shù)定義進(jìn)行介紹，凸函數(shù)的等價性質(zhì)進(jìn)行了概述；接下來介紹了凸函數(shù)的基本性質(zhì)，然后由此延伸，進(jìn)一步提出凸函數(shù)的應(yīng)用，主要集中在下面幾方面的應(yīng)用：

5、凸函數(shù)在Hadamard不等式證明中的應(yīng)用，凸函數(shù)在證明Jensen不等式時的應(yīng)用，凸函數(shù)在分析不等式中的應(yīng)用等方面進(jìn)行了討論。2.1凸函數(shù)的定義2.1.1凸函數(shù)一些基本定義通過數(shù)學(xué)分析[2]的學(xué)習(xí)，對于函數(shù)和的圖像，我們很容易得出它們之間的不同點：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線則相反，在任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方。通過這兩個函數(shù)，我們把前一種特性的曲線稱為凸的，后一種為凹的。對于凸的我們稱其函數(shù)為凸函數(shù)。葛麗萍[3]給出了凸函數(shù)的基本定義[3]：設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若

6、對上的任意兩點，和任意實數(shù)總有,則稱為上的凸函數(shù)。2.1.2嚴(yán)格凸函數(shù)的定義江芹,陳文略[4]給出了嚴(yán)格凸函數(shù)的定義并且討論了區(qū)間上嚴(yán)格凸函數(shù)的判定方法。定義：凸函數(shù)的定義為函數(shù)滿足以下不等式，為區(qū)間上的函數(shù)，，為上的任意兩點和任意實數(shù)。當(dāng)上面的不等式變?yōu)闀r，其余條件不變，該函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)。2.1.3凸函數(shù)的等價描述林銀河[5]詳細(xì)論述了凸函數(shù)的等價描述，由此得出：若在上有定義，則以下3個命題等價：在上為凸函數(shù)；，，有；，且不全為零，有。5其中命題就是著名的Jensen不等式。在Jensen不等式中

7、令就得到如下定義：設(shè)在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)有。葛麗萍[3]介紹了函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的等價條件：若為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，可得出以下等價條件。為上的凸；為上的增函數(shù)；對上的任意兩點，，有。2.2凸函數(shù)的一些性質(zhì)2.2.1凸函數(shù)的連續(xù)性凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一類重要函數(shù)，而函數(shù)的連續(xù)性又是函數(shù)性態(tài)的一項基本而又重要的特征。由于Jensen定義中并沒有對函數(shù)作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè)，Jensen意義下凸函數(shù)并不一定是連續(xù)函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定是凸函數(shù)，選取實際問題中大量存在的區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)作為討論

8、對象，從凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系。那么我們就會提出這樣的問題：當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足何種條件時，是區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)凸函數(shù)滿足何種條件時，是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；連續(xù)凸函數(shù)在區(qū)間上具有何種性質(zhì)？宋方[6]提出，如果連續(xù)函數(shù)為凸函數(shù)，必定滿足以下定義：對任意的及，恒有：。2.2.2凸函數(shù)的微積分性質(zhì)劉鴻基，張志宏[8]指出凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，有著較好的分析性質(zhì)，而關(guān)于凸函數(shù)，一般教材大都從幾何意義方面引出定義，描述為：凸曲線弧段上