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《函數(shù)凸性引伸及應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、第31卷第3期溫州大學學報自然科學版2010年6月VOI31,No3Joumalof研/enzhou枷iversityNaturalSeieneesJun,2010函數(shù)凸性引伸及應(yīng)用李群芳,趙煥光(溫州大學數(shù)學與信息科學學院,浙江溫州325035)摘要:利用幾何平均凸函數(shù)對數(shù)凸函數(shù)幾何凸函數(shù)的性質(zhì)建立若干新的不等式,使得某些國際數(shù)學奧林匹克競賽題與數(shù)學通報問題作為其特例得以解決.關(guān)鍵詞:函數(shù)凸性;幾何平均凸函數(shù);對數(shù)凸函數(shù);幾何凸函數(shù);不等式中圖分類號:0122.3文獻標志碼:A文章編號:1674一3563(2010)03~(擬1一06DOI:
2、10.3875lj.issn.1674一3563.20lo.o3.0()l本文的poF文件可以從xuebao.wzu.edu.en獲得凸函數(shù)是一類性質(zhì)獨特的函數(shù).凸函數(shù)的性質(zhì)在不等式證明中有廣泛應(yīng)用[l].文獻[2]應(yīng)用凸函數(shù)及其性質(zhì)簡單地證明了一些不等式;文獻!3]在凸函數(shù)的前提下,進一步研究了對數(shù)凸函數(shù),并給出了它在不等式研究中的應(yīng)用;文獻[41給出了幾何凸函數(shù)的一些性質(zhì),建立了關(guān)于幾何凸函數(shù)的琴生型不等式,并給出了其在證明較難不等式中的簡便應(yīng)用.但在以上研究中,不等式的證明都要用到構(gòu)造函數(shù),這是比較困難的.本文利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的不同組合
3、方式引申出幾何平均凸函數(shù)[31對數(shù)凸函數(shù)[4l與幾何凸函數(shù)[5]等概念,通過變量代換的途徑直接從通常的凸函數(shù)的性質(zhì)中獲得這些引伸出來的函數(shù)的性質(zhì),建立了若干新的不等式,使得某些不等式證明問題(以一些國際數(shù)學奧林匹克競賽題與數(shù)學通報問題為例)作為其特例得以解決,從而避免了構(gòu)造函數(shù)這個難題.1預(yù)備知識為應(yīng)用方便,首先介紹相關(guān)概念.定義11)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I(cR)上的函數(shù).若血,凡?I,t?(0,1),總有f(txl+(l一t)x:)#了(xl)+(1一t)f(x:),則稱f為I上的凸函數(shù)(不等號反向稱其為凹函數(shù))[l];2)設(shè)f(x)是定義在區(qū)
4、間I(cR+)上的函數(shù).若獄,凡?I,t?(0,1),總有f(對x1-#)#擴(氣)+(1一#)f(凡),則稱f為I上的凡何平均凸函數(shù)(不等號反向稱其為幾何平均凹函數(shù))l3];3)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I(cR)上的正值函數(shù).若獄,凡?I,t?(0,1),總有f(tx,+(l一t)xZ)#f(x,)#f(xZ)#一#,則稱f為I上的對數(shù)凸函數(shù)(不等號反向稱其為對數(shù)凹函數(shù))[4];收稿日期:2(X)9一12一02作者簡介:李群芳(1987一),女,江西上饒人,碩士研究生,研究方向:應(yīng)用分析2溫州大學學報自然科學版(2010)第31卷第3期4)設(shè)f(x)
5、是定義在區(qū)間I(二R十)上的正值函數(shù).若Vxl,凡?I,t?(0,1),總有f(x{x爹#)#f(x,)#f(xZ)?一#,則稱f為I上的幾何凸函數(shù)(不等號反向稱其為幾何凹函數(shù))[5].引理11)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I(cR+)上的函數(shù).f(x)是I上的幾何平均凸函數(shù),當且僅當F(x)二f(ex)是某區(qū)間J(cR,若I=(a,b),則J二(Ina,inb))上的凸函數(shù);2)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I(cR)上的函數(shù).f(x)是I上的對數(shù)凸函數(shù),當且僅當F(x)=inf(x)是I上的凸函數(shù);3)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I(cR十)上的正值函數(shù).若f(x)是
6、I上的幾何凸函數(shù),當且僅當F(x)=inf(e尤)是某區(qū)間J(cR)上的凸函數(shù).引理1的證明直接由定義1可得.進一步,由定義1及數(shù)學歸納法可建立各種凸性意義下的Jensen不等式[l一5].在f尸(x)存在的情形下,還可以由f矛(x)在I上的非負性確定函數(shù)了(x)的凸性川.2幾何平均凸性的應(yīng)用定理11)若p之1,且x#任R+(i=1,2,%,n),則青睿(卜)#::#貴各xi)?全(#幣獲廠萬);;2)若0#尸<1,且x#任[0,1](i=l,2,%,n),則:1貴客一)?青各(1一,?&&ha,??3)若一l<尸<0,且x#任[0,1](
7、i=l,2,%,n),則(1去睿一)夕去各(1一,?#(+#ha,&?4)若p#一1,且x#任[l,枷),則貴各(卜)#二(卜一)二(#去息一)?進一步,當且僅當所有自變量取值相等時等號成立.證明:設(shè)f(x)二(1+x)夕,則f?(x)夕(1+x)夕一,,f尸(x)夕(尸一1)(l+x)p一2.由凸函數(shù)的Jensen不等式l1]及函數(shù)的單調(diào)性可知,l)成立,且2)與3)的第一個不等式也成立;又設(shè)f(x)=(1+ex)夕,則f?(x)=夕e丈(1+e?)?一#,李群芳等:函數(shù)凸性引伸及應(yīng)用f尸(x)=夕e#(l+e#)夕一#+戶(夕一)(1+e
8、工)尸一Ze?x=(l+e義)?一,尸e工(l+刀e尤).由幾何平均凸函數(shù)的Jensen不等式
