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《第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 - 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律中心極限定理3.1數(shù)學(xué)期望一.數(shù)學(xué)期望的定義例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績(jī)是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征定義1.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,則稱定義2.(p73)若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且為r.v.X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。，則稱為r.v.X的數(shù)學(xué)期望例2擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。定義
2、3若X~f(x),-?3、g(X，Y)的期望例4設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:解：Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單，反函數(shù)為Y的概率密度為EX2：設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量Y=aX+b的數(shù)學(xué)期望(其中a>0)(p77)定理2若X~f(x),-?4、，求E(X2),E(X3),E(X4)EX1.E(c)=c,c為常數(shù);2。E(cX)=cE(X),c為常數(shù);四.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(P78)證明:設(shè)X~f(x),則3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);證明:設(shè)(X,Y)~f(x,y)4.若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y).證明:設(shè)(X,Y)~f(x,y)例2.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個(gè)人中普查這種疾病,為此要化驗(yàn)每個(gè)人的血。方法是，每100個(gè)人一組，把從100個(gè)人抽來(lái)的血混在一起化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，則通過(guò)，如果混合血樣呈陽(yáng)性，則再分別化驗(yàn)該組每個(gè)人的血樣。求平均化驗(yàn)次數(shù)解:設(shè)Xj為第j組
5、的化驗(yàn)次數(shù)，XjPj1101X為1000人的化驗(yàn)次數(shù)，則例3若X~B(n,p),求E(X)解:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則EX1設(shè)隨機(jī)變量X??N(0,1)，Y?U(0,1)，Z?B(5,0.5),且X，Y，Z獨(dú)立，求隨機(jī)變量U=（2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學(xué)期望EX2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從分布，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望答:答:3.2方差一.定義與性質(zhì)方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征。如何定義？1.(p82)定義若E(X),E(X2)存在，則稱E[X-E(X)]2為r.v.X的方差，記為D(X),或Var(X).稱為r.v.X的
6、標(biāo)準(zhǔn)差可見(jiàn)2.推論D(X)=E(X2)-[E(X)]2.證明:D(X)=E[X-E(X)]2例1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1)求D（X）,2)求3.方差的性質(zhì)(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，則存在常數(shù)C，使P{X=C}=1,且C=E(X);(2)D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；證明:(3)若X，Y獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);證明:X與Y獨(dú)立1.二項(xiàng)分布B(n,p)：二.幾個(gè)重要r.v.的方差(P86)解法二:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則2.泊松分布p(?)：由于兩邊對(duì)?求導(dǎo)得或或3.均勻分布U(a,b)：4.指數(shù)分布：
7、5.正態(tài)分布N(?,?2)：思考：1.請(qǐng)給出一個(gè)離散型隨機(jī)變量X和一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y，使它們的期望都是2，方差都是1。2.已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個(gè)Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E（Y2）三.切比雪夫不等式(P107)若r.v.X的期望和方差存在，則對(duì)任意??0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等價(jià)的形式：大數(shù)定律已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價(jià)超過(guò)1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令3.3協(xié)方差，相關(guān)系數(shù) 一.協(xié)方差定
8、義與性質(zhì)1.協(xié)方差定義(
