概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-ch4隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt

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1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。但在許多實(shí)際問(wèn)題中，并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況。如大致了解全班同學(xué)的身高情況，并不需要精確研究全班同學(xué)的身高---隨機(jī)變量X的分布，其實(shí)我們只要知道全班同學(xué)的平均身高、大家身高對(duì)平均身高的平均偏離程度就可以大致了解全班同學(xué)的身高情況。平均身高和平均偏離程度就是X的兩個(gè)數(shù)字特征。用數(shù)字特征能更直接、更簡(jiǎn)潔、更清晰和更實(shí)用地反映出隨機(jī)變量的本質(zhì)。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)分賭本問(wèn)題1654年,職業(yè)賭客德·梅累向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱很久的分賭本問(wèn)題：甲、乙兩賭客賭技相同，各出賭注5

2、0法郎，每局中無(wú)平局。他們約定，誰(shuí)先贏三局則得到全部100法郎的賭本。當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博。現(xiàn)問(wèn)這100法郎如何分才算公平？事實(shí)上，很容易設(shè)想出以下兩種分法：（1）甲得100·(1/2)法郎，乙得100·(1/2)法郎；（2）甲得100·(2/3)法郎，乙得100·(1/3)法郎。第一種分法考慮到甲、乙兩人賭技相同，就平均分配，沒(méi)有照顧到甲已經(jīng)比乙多贏一局這一個(gè)現(xiàn)實(shí)，對(duì)甲顯然是不公平的。第二種分法不但照顧到了“甲乙賭技相同”這一前提，還尊重了已經(jīng)進(jìn)行的三局比賽結(jié)果，當(dāng)然更公平一些。但是，第二種分法還是沒(méi)有考慮到如果繼續(xù)比下去的話(huà)會(huì)出現(xiàn)什么情形，即沒(méi)有照

3、顧兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對(duì)比賽結(jié)果的一種期待。帕斯卡與另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在一系列通信中就這一問(wèn)題展開(kāi)了討論，并得出正確的結(jié)論。假如能繼續(xù)比下去的話(huà)，至多再有兩局必可結(jié)束。若接下來(lái)的第四局甲勝，則甲贏得所有賭注；若乙勝，還要再比第五局，當(dāng)且僅當(dāng)甲勝這一局時(shí)，甲贏得所有賭注。以上四種局面中，前三種局面都是甲贏。因此，如果賭局繼續(xù)，甲贏的概率為0.75，乙贏的概率為0.25。甲的“期望”所得應(yīng)為0·(1/4)+100·(3/4)=75法郎；乙的“期望”所得應(yīng)為0·(3/4)+100·(1/4)=25法郎。從而這種方法照顧到了已賭結(jié)果，又包括了再賭下去的一種“期望”，它自然比前兩種方法

4、都更為合理，使甲乙雙方都樂(lè)于接受。這就是“數(shù)學(xué)期望”這個(gè)名稱(chēng)的由來(lái)。后來(lái)，帕斯卡和費(fèi)馬的通信引起了荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯的興趣，后者在1657年發(fā)表的《論賭博中的計(jì)算》是最早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念（如數(shù)學(xué)期望）與定理（如概率加法、乘法定理）標(biāo)志著概率論的誕生。設(shè)賭局結(jié)束后甲贏得的賭本為X，乙贏得的賭本為Y，則X和Y的分布律為：X的“期望”為0·+100·Y的“期望”為0·+100·“數(shù)學(xué)期望”本質(zhì)上就是以概率值為權(quán)數(shù)對(duì)贏得賭本的加權(quán)平均。數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1設(shè)X~P{X=xk}=pk,k=1,2,

5、…,如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義X的數(shù)學(xué)期望（均值）為記為EX或E（X）解：例1甲乙兩人打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為，它們的分布律分別為下表，試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞。所以甲的成績(jī)好例2某產(chǎn)品表面的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò)1個(gè)為一等品，價(jià)值10元；疵點(diǎn)數(shù)大于1個(gè)不多于4個(gè)為二等品，價(jià)值8元；疵點(diǎn)數(shù)超過(guò)4個(gè)為廢品。求（1）產(chǎn)品的廢品率。（2）產(chǎn)品價(jià)值的平均值。解：設(shè)X表示產(chǎn)品表面的疵點(diǎn)數(shù)，有（1）產(chǎn)品的廢品率為所以產(chǎn)品價(jià)值的平均值為（2）設(shè)Y表示產(chǎn)品的價(jià)值，有（1）0-1分布的數(shù)學(xué)期望（2）泊松分布的數(shù)學(xué)期望（3）二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量可近似看作取值很密的離

6、散型隨機(jī)變量，設(shè)取值為2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其在某點(diǎn)處取值的概率可表示為X落在小區(qū)間的概率此時(shí)概率分布為數(shù)學(xué)期望為定義2設(shè)X~f(x),如果積分絕對(duì)收斂，則定義X的數(shù)學(xué)期望為記為EX或E（X）。（1）均勻分布的數(shù)學(xué)期望（2）指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望（3）正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望3隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X),且E(Y)存在，于是（1）若X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為則Y的數(shù)學(xué)期望為（2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，則Y的數(shù)學(xué)期望為解：例離散型隨機(jī)變量X的分布律如下表，Y=2X+1，求Y的數(shù)學(xué)期望解：可用定理求解例隨機(jī)變量，求例隨機(jī)變

7、量，求解：定理2設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在，于是（1）若（X，Y）為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為則Z的數(shù)學(xué)期望為（2）若（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x，y)，則Z的數(shù)學(xué)期望為例二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的分布律如下表，求例設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為解：求4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.c為常數(shù),E(c)=c;2.c為常數(shù),E(cX)=cE(X);3.E（X+Y）=EX+EY4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，E(XY)=E(X)E(Y)注意：其逆命題不成立例機(jī)場(chǎng)快線(xiàn)載20名旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客