第三章--函數(shù)

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第三章函數(shù)３．１函數(shù)的概念３．２函數(shù)的表示法３．３函數(shù)的單調(diào)性３．４函數(shù)的奇偶性３．５反函數(shù)３．６待定系數(shù)法３.７函數(shù)的應(yīng)用

1３．１函數(shù)的概念復(fù)習(xí)初中學(xué)過(guò)的函數(shù)概念，在函數(shù)ｙ＝ｘ２中，對(duì)ｘＲ的每一個(gè)確定的值，按照對(duì)應(yīng)法則：“平方”，都有唯一確定的ｙ值與它對(duì)應(yīng)，例如這時(shí)，我們說(shuō)ｙ是ｘ的函數(shù)，其中ｘ是自變量，函數(shù)ｙ常稱(chēng)做因變量，實(shí)數(shù)集Ｒ是該函數(shù)的定義域，非負(fù)實(shí)數(shù)集是該函數(shù)的值域．下一頁(yè)返回

2３．１函數(shù)的概念從這個(gè)例子可以看到兩個(gè)重要的事實(shí)：（１）通過(guò)對(duì)應(yīng)法則，把實(shí)數(shù)集中的數(shù)變到非負(fù)實(shí)數(shù)集中去；（２）對(duì)實(shí)數(shù)集中的每一個(gè)實(shí)數(shù)，在非負(fù)實(shí)數(shù)集中有且僅有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)．由上述分析可以看到，函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)上就是從自變量ｘ的集合到函數(shù)值ｙ的集合的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．一般地，設(shè)Α，Ｂ是兩個(gè)非空的集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則ｆ，對(duì)于集合Α內(nèi)任一個(gè)元素ｘ，在集合Ｂ中都有唯一個(gè)元素ｙ與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)ｆ：Α→Ｂ為從集合Α到集合Ｂ的一個(gè)函數(shù)，記作：ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈?。渲校凶鲎宰兞?，ｘ的取值范圍Α叫做函數(shù)的定義域：與ｘ的值相對(duì)應(yīng)的ｙ值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈?。凶龊瘮?shù)的值域．上一頁(yè)返回

3３．２函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常以下有三種：１．解析法把兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系用等式來(lái)表示，這種表示函數(shù)的方法叫做解析法，這個(gè)等式叫函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)解析式．２．列表法把兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)值列成表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這種方法叫做列表法．下一頁(yè)返回

4３．２函數(shù)的表示法３．圖象法把自變量ｘ的一個(gè)值和函數(shù)ｙ的對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可以在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出一個(gè)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合，叫做這個(gè)函數(shù)的圖象，用圖象表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法．上一頁(yè)返回

5３．３函數(shù)的單調(diào)性一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)ｆ（ｘ）：１．如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)值ｘ１、ｘ2當(dāng)ｘ１＜ｘ2時(shí)都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ2），那么就說(shuō)ｆ（ｘ）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或單調(diào)遞增函數(shù)），增函數(shù)的圖象是沿ｘ軸的正方向，即從左向右逐漸上升的（如圖３－３（ｄ））．２．如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)值ｘ１，ｘ2，當(dāng)ｘ１＜ｘ2時(shí)都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ2），那么就說(shuō)ｆ（ｘ）在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（或單調(diào)遞減函數(shù)），減函數(shù)的圖象是沿ｘ軸的正方向，即從左向右逐漸下降的（如圖３－３（ｅ））．函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，叫做ｆ（ｘ）在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫做ｆ（ｘ）的單調(diào)區(qū)間．返回

6３．４函數(shù)的奇偶性在作函數(shù)的圖像時(shí)，可以看到，ｆ（ｘ）＝２ｘ的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，ｆ（ｘ）＝ｘ２的圖像關(guān)于ｙ軸對(duì)稱(chēng)，如圖３－６所示；從函數(shù)的解析式也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ｘ取兩個(gè)相反數(shù)的值時(shí)，ｆ（ｘ）＝２ｘ的函數(shù)值是兩個(gè)互為相反的數(shù)，而ｆ（ｘ）＝ｘ２的兩個(gè)函數(shù)值相等．一般地，對(duì)于函數(shù)ｆ（ｘ）：１．如果函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）對(duì)其定義域Ｄ內(nèi)任意一個(gè)ｘ值，且－ｘ∈Ｄ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函數(shù)ｆ（ｘ）叫做偶函數(shù)．２．如果函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）對(duì)其定義域Ｄ內(nèi)任意一個(gè)ｘ值，且－ｘＤ，都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么函數(shù)ｆ（ｘ）叫做奇函數(shù)．下一頁(yè)返回

7３．４函數(shù)的奇偶性根據(jù)上述定義，可以看出：如果ｆ（ｘ）是偶函數(shù)，則點(diǎn)（ｘ，ｆ（ｘ））與點(diǎn)（－ｘ，ｆ（－ｘ））都是ｆ（ｘ）的圖像，這兩點(diǎn)關(guān)于ｙ軸對(duì)稱(chēng)的．如果ｆ（ｘ）是奇函數(shù)，則點(diǎn)（ｘ，ｆ（ｘ））與點(diǎn)（－ｘ，ｆ（－ｘ））都是ｆ（ｘ）的圖像，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，于是可以推出：一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是：它的圖像關(guān)于ｙ軸對(duì)稱(chēng)，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形，如圖３－７（ａ）所示．一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是：它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形，如圖３－７（ｂ）所示．上一頁(yè)返回

8３．５　反函數(shù)一般地，函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）中，ｘ是自變量，ｙ是ｘ的函數(shù)，設(shè)它的定義域?yàn)棣。涤驗(yàn)椋?，根?jù)函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）中ｘ，ｙ的關(guān)系，用ｙ把ｘ表示出來(lái)，得到ｘ＝（ｙ），如果對(duì)于ｙ在Ｂ中的任何一個(gè)值，通過(guò)ｘ＝（ｙ），ｘ在Α中都有唯一的一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，那么ｘ＝（ｙ）就表示ｙ是自變量，ｘ是自變量ｙ的函數(shù)，這樣函數(shù)ｘ＝（ｙ）（ｙ∈Ｂ）叫做函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Α）的反函數(shù)，記作ｘ＝ｆ－１（ｙ）．由于習(xí)慣用ｘ表示自變量，用ｙ表示自變量的函數(shù)，因此把它改寫(xiě)成ｙ＝ｆ－１（ｙ）．返回

9３．６待定系數(shù)法一般地，在求一個(gè)函數(shù)時(shí)，如果知道這個(gè)函數(shù)的一般形式（如一次函數(shù)為ｙ＝ｋｘ＋ｂ，二次函數(shù)為ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ），可先把所求的函數(shù)寫(xiě)成一般形式，再根據(jù)已知條件列方程（組），求出它的系數(shù)，這種通過(guò)求待定系數(shù)確定變量之間關(guān)系的方法叫做待定系數(shù)法．返回

10３.７函數(shù)的應(yīng)用一次函數(shù)和二次函數(shù)在許多實(shí)際問(wèn)題中有重要應(yīng)用，下面舉些例子來(lái)說(shuō)明．例１　某地長(zhǎng)途汽車(chē)客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過(guò)規(guī)定，則需要購(gòu)買(mǎi)行李票，行李票的費(fèi)用ｙ（元）是行李質(zhì)量ｘ（千克）的一次函數(shù)，其圖像如圖３－１１所示．求：（１）ｙ與ｘ之間的函數(shù)解析式．（２）旅客最多可以免費(fèi)攜帶行李的重量．解：（１）設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ因?yàn)楫?dāng)ｘ＝６０時(shí)ｙ＝６；當(dāng)ｘ＝８０時(shí)ｙ＝１０下一頁(yè)返回

11３.７函數(shù)的應(yīng)用解得：所以所求函數(shù)解析式是（２）ｙ＝０時(shí)，ｘ－６＝０，解得ｘ＝３０所以旅客最多可免費(fèi)攜帶３０千克行李．上一頁(yè)返回

12圖３－３返回

13圖３－６返回

14圖３－7返回

15圖3-11返回