第三章--函數

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第三章函數３．１函數的概念３．２函數的表示法３．３函數的單調性３．４函數的奇偶性３．５反函數３．６待定系數法３.７函數的應用

1３．１函數的概念復習初中學過的函數概念，在函數ｙ＝ｘ２中，對ｘＲ的每一個確定的值，按照對應法則：“平方”，都有唯一確定的ｙ值與它對應，例如這時，我們說ｙ是ｘ的函數，其中ｘ是自變量，函數ｙ常稱做因變量，實數集Ｒ是該函數的定義域，非負實數集是該函數的值域．下一頁返回

2３．１函數的概念從這個例子可以看到兩個重要的事實：（１）通過對應法則，把實數集中的數變到非負實數集中去；（２）對實數集中的每一個實數，在非負實數集中有且僅有一個值與之對應．由上述分析可以看到，函數關系實質上就是從自變量ｘ的集合到函數值ｙ的集合的一種對應關系．一般地，設Α，Ｂ是兩個非空的集合，如果按照某種對應法則ｆ，對于集合Α內任一個元素ｘ，在集合Ｂ中都有唯一個元素ｙ與之對應，則稱ｆ：Α→Ｂ為從集合Α到集合Ｂ的一個函數，記作：ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈?。渲校凶鲎宰兞?，ｘ的取值范圍Α叫做函數的定義域：與ｘ的值相對應的ｙ值叫做函數值，函數值的集合｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈?。凶龊瘮档闹涤颍弦豁摲祷?/p>

3３．２函數的表示法函數的表示法通常以下有三種：１．解析法把兩個變量之間的函數關系用等式來表示，這種表示函數的方法叫做解析法，這個等式叫函數的解析表達式，簡稱解析式．２．列表法把兩個變量之間的對應值列成表格來表示函數關系，這種方法叫做列表法．下一頁返回

4３．２函數的表示法３．圖象法把自變量ｘ的一個值和函數ｙ的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，可以在直角坐標系內描出一個點，所有這些點的集合，叫做這個函數的圖象，用圖象表示兩個變量之間的函數關系的方法叫做圖象法．上一頁返回

5３．３函數的單調性一般地，對于給定區(qū)間上的函數ｆ（ｘ）：１．如果對于這個區(qū)間上的任意兩個值ｘ１、ｘ2當ｘ１＜ｘ2時都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ2），那么就說ｆ（ｘ）在這個區(qū)間上是增函數（或單調遞增函數），增函數的圖象是沿ｘ軸的正方向，即從左向右逐漸上升的（如圖３－３（ｄ））．２．如果對于這個區(qū)間上的任意兩個值ｘ１，ｘ2，當ｘ１＜ｘ2時都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ2），那么就說ｆ（ｘ）在這個區(qū)間上是減函數（或單調遞減函數），減函數的圖象是沿ｘ軸的正方向，即從左向右逐漸下降的（如圖３－３（ｅ））．函數ｙ＝ｆ（ｘ）在某個區(qū)間上單調遞增或單調遞減，叫做ｆ（ｘ）在這個區(qū)間上的單調性，這個區(qū)間叫做ｆ（ｘ）的單調區(qū)間．返回

6３．４函數的奇偶性在作函數的圖像時，可以看到，ｆ（ｘ）＝２ｘ的圖像關于原點對稱，ｆ（ｘ）＝ｘ２的圖像關于ｙ軸對稱，如圖３－６所示；從函數的解析式也可以發(fā)現(xiàn)，當ｘ取兩個相反數的值時，ｆ（ｘ）＝２ｘ的函數值是兩個互為相反的數，而ｆ（ｘ）＝ｘ２的兩個函數值相等．一般地，對于函數ｆ（ｘ）：１．如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）對其定義域Ｄ內任意一個ｘ值，且－ｘ∈Ｄ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函數ｆ（ｘ）叫做偶函數．２．如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）對其定義域Ｄ內任意一個ｘ值，且－ｘＤ，都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么函數ｆ（ｘ）叫做奇函數．下一頁返回

7３．４函數的奇偶性根據上述定義，可以看出：如果ｆ（ｘ）是偶函數，則點（ｘ，ｆ（ｘ））與點（－ｘ，ｆ（－ｘ））都是ｆ（ｘ）的圖像，這兩點關于ｙ軸對稱的．如果ｆ（ｘ）是奇函數，則點（ｘ，ｆ（ｘ））與點（－ｘ，ｆ（－ｘ））都是ｆ（ｘ）的圖像，這兩點是關于原點對稱的，于是可以推出：一個函數是偶函數的充要條件是：它的圖像關于ｙ軸對稱，屬于軸對稱圖形，如圖３－７（ａ）所示．一個函數是奇函數的充要條件是：它的圖像關于原點對稱，屬于中心對稱圖形，如圖３－７（ｂ）所示．上一頁返回

8３．５　反函數一般地，函數ｙ＝ｆ（ｘ）中，ｘ是自變量，ｙ是ｘ的函數，設它的定義域為Α，值域為Ｂ，根據函數ｙ＝ｆ（ｘ）中ｘ，ｙ的關系，用ｙ把ｘ表示出來，得到ｘ＝（ｙ），如果對于ｙ在Ｂ中的任何一個值，通過ｘ＝（ｙ），ｘ在Α中都有唯一的一個值和它對應，那么ｘ＝（ｙ）就表示ｙ是自變量，ｘ是自變量ｙ的函數，這樣函數ｘ＝（ｙ）（ｙ∈Ｂ）叫做函數ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈?。┑姆春瘮?，記作ｘ＝ｆ－１（ｙ）．由于習慣用ｘ表示自變量，用ｙ表示自變量的函數，因此把它改寫成ｙ＝ｆ－１（ｙ）．返回

9３．６待定系數法一般地，在求一個函數時，如果知道這個函數的一般形式（如一次函數為ｙ＝ｋｘ＋ｂ，二次函數為ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ），可先把所求的函數寫成一般形式，再根據已知條件列方程（組），求出它的系數，這種通過求待定系數確定變量之間關系的方法叫做待定系數法．返回

10３.７函數的應用一次函數和二次函數在許多實際問題中有重要應用，下面舉些例子來說明．例１　某地長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規(guī)定，則需要購買行李票，行李票的費用ｙ（元）是行李質量ｘ（千克）的一次函數，其圖像如圖３－１１所示．求：（１）ｙ與ｘ之間的函數解析式．（２）旅客最多可以免費攜帶行李的重量．解：（１）設一次函數表達式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ因為當ｘ＝６０時ｙ＝６；當ｘ＝８０時ｙ＝１０下一頁返回

11３.７函數的應用解得：所以所求函數解析式是（２）ｙ＝０時，ｘ－６＝０，解得ｘ＝３０所以旅客最多可免費攜帶３０千克行李．上一頁返回

12圖３－３返回

13圖３－６返回

14圖３－7返回

15圖3-11返回