熱點(diǎn)6-1 線線、線面、面面的平行與垂直（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）（解析版）.docx

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熱點(diǎn)6-1線線、線面、面面的平行與垂直在高考數(shù)學(xué)中，本部分內(nèi)容主要分兩方面進(jìn)行考查，一是以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以小題的形式出現(xiàn)，題目難度較??；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第（1）問的形式考查，屬于中檔題。【題型1空間點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷】滿分技巧1、判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題的方法：（1）借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷；（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定。2、兩點(diǎn)注意：（1）平面幾何的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中；（2）當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與提升或公認(rèn)結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷?！纠?】（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下面說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對于A，若，則可能平行或相交，可得A錯(cuò)誤；對于B，若，則，即B正確；對于C，若，則或，可知C錯(cuò)誤；對于D，若，則或，可知D錯(cuò)誤；故選：B【變式1-1】（2024·江蘇徐州·高三校考開學(xué)考試）已知兩條不重合的直線和，兩個(gè)不重合的平面和，下列四個(gè)說法：①若，，，則②若，，，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ③若，，，則④若，，，則其中所有正確的序號為（）A．②④B．③④C．④D．①③【答案】B【解析】對于①：如果，，也能滿足條件，①錯(cuò)誤；對于②：與相交或異面也能滿足條件，②錯(cuò)誤；對于③：因?yàn)?，，則，又因?yàn)椋?，③正確；對于④：因?yàn)?，所以平面?nèi)必有直線，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，而，所以，④正確.故選：B【變式1-2】（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對于A，若,則直線與可能相交、也可能平行、還可能是異面直線，A錯(cuò)誤；對于B，若，則，B錯(cuò)誤；對于C，若，直線與可能平行，如直線、都平行于的交線，且，滿足條件，而，C錯(cuò)誤；對于D，若，則，又，因此，D正確.故選：D【變式1-3】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是三條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則且C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對于A，若，則或，A錯(cuò)誤；對于B，若，則當(dāng)且時(shí)，才有且，B錯(cuò)誤；對于C，若，當(dāng)時(shí)，推不出，C錯(cuò)誤；對于D，如圖，設(shè)，在內(nèi)取點(diǎn)P，，作，垂足為，因?yàn)?，則，而，則，又，故，D正確，故選：D學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-4】（2024·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知直線a，b，c與平面，，，下列說法正確的是（）A．若，，，則a，b異面B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】AC【解析】若，，，則a，b異面，故A正確；若，，，則與異面或平行或相交，故B錯(cuò)誤；若，，則，故C正確；若，，則或相交，故D錯(cuò)誤；故選：AC【題型2共面、共線、共點(diǎn)證明】滿分技巧1、證明點(diǎn)線共面問題的兩種方法（1）納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；（2）輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線共平面，再證其他點(diǎn)、線共平面,最后證平面,重合.2、證明點(diǎn)共線問題的兩種方法（1）先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；（2）直接證明這些點(diǎn)都在一條特定直線上.3、證明三線共點(diǎn)問題的步驟第一步：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)；第二步：再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線。【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點(diǎn).設(shè)與平面的交點(diǎn)為，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．三點(diǎn)共線，且B．三點(diǎn)共線，且C．三點(diǎn)不共線，且D．三點(diǎn)不共線，且【答案】B【解析】連接連接，，直線平面平面.又平面，平面平面直線∴三點(diǎn)共線..故選：B.【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面．【答案】證明見解析【解析】假設(shè)面與棱交于．平面，平面與其相交，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，與重合，即四點(diǎn)共面．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)．（1）證明：、、、四點(diǎn)共面；（2）對角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；（3）證明：、、三線共點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）連接在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)，，、、、四點(diǎn)共面（2），確定一個(gè)平面面，面對角線與平面交于點(diǎn)，面在面與面的交線上，面且面，面面，，即點(diǎn)共線.（3）延長交于面，，面面，，面面面，、、三線共點(diǎn).【變式2-3】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：如圖所示，在棱上取點(diǎn)，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，則且，又且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以.所以四點(diǎn)共面.（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，.設(shè)平面的法向量為，由得，解得令，則.，設(shè)平面的法向量為，由得，解得令，則，設(shè)兩個(gè)平面夾角大小為，則.所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以平面與平面夾角的正弦值為.【變式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成.其中，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求長.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，因?yàn)?，所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，在半圓上，是弧中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面.（2）法1：直棱柱中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 平面與平面所成夾角，即與夾角或其補(bǔ)角，所以，解得，所以法2：設(shè)，由（1）知四點(diǎn)共面，則面面.取中點(diǎn)，連接，則，而面，面，故，，面，則平面，過作于，又平面，所以平面，過作于，連接，則，又是銳角.所以是平面與平面所成的夾角，則，所以在Rt中，，在中，根據(jù)等面積法，在中，.所以.所以，解得，即，所以.【題型3線線、線面、面面平行證明】滿分技巧1、線線平行的證明方法（1）定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；（3）利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2、線面平行的判定方法（1）利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn)；（2）利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行（簡記為“線線平行線面平行”）（3）利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)所有直線都平行于另一個(gè)平面。（簡記為“面面平行線面平行”）3、面面平行的判定方法（1）面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合（不常用）；（2）面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（主要方法）；（3）垂直于通一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）.【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．若平面平面，證明：.【答案】證明見解析【解析】在圖1中，因?yàn)?，，，所以，，又，所以，因?yàn)?，，所以，故，在圖2中，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所?【變式3-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）如圖，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 為所在棱的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．平面【答案】C【解析】如圖，記正方體的另一個(gè)頂點(diǎn)為C，連接，交于點(diǎn)O，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镼，D為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)榻挥谕稽c(diǎn)，即與均不平行，故A，B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若平面，且平面，平面平面，可得，這與與不平行相矛盾，假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)闉檎叫?，則，且M，N為所在棱的中點(diǎn)，則，可得，又因?yàn)槠矫?，且平面，可得，且，平面，所以平面，由平面，所以，故C正確；故選：C.【變式3-2】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，平面，且是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，且．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）在中，因?yàn)椋?，且，在四邊形中，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面．?）作交于點(diǎn)，平面，又面，所以，又，面，平面，又，平面，由，得到，又，所以，又為的中點(diǎn)，，．【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接．在底面中，因?yàn)?，，由，可得，因?yàn)?，即，所以在中，，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連接，由，，得為等邊三角形，所以．在等邊三角形中，，所以．因?yàn)椋咀兪?-4】（2024·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，梯形是圓臺的軸截面，，分別在底面圓，的圓周上，為圓臺的母線，，若，，，分別為，的中點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.??（1）證明：平面平面；（2）求圓臺的高.【答案】（1）證明見解析；（2）6【解析】（1）證明：由題意得，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面.因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 而平面，平面，所以平面，又，平面，且，所以平面平面.（2）（方法一）易知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸、軸，在底面圓內(nèi)過作的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)圓臺的高為（），則，，，，則，，由，解得.（方法二）設(shè)圓臺的高為（），連接和，因?yàn)辄c(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，故為的中位線，所以，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，同理可得，則，由（1）知，則，，由勾股定理可得.由，為圓臺的母線得，，則為等邊三角形，則，故，則在中，由余弦定理可得，解得.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型4線線、線面、面面垂直證明】滿分技巧直線與平面垂直的判定方法1、利用定義：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面；2、利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面垂直；3、可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面；4、面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面；5、面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則這條直線也垂直于另一個(gè)平面；6、面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面.【例4】（2024·北京西城·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體.小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷，其中不正確的是（）A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面【答案】D【解析】對于A，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵傻闷矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，所以A正確；對于B，由平面，平面，可得，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，故B正確；對于C，由平面，且平面，所以平面平面，故C正確；對于D，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又平面，可得，因?yàn)榕c不垂直，矛盾，所以平面與平面不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：D.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式4-1】（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，依題意，，，，則，即有，顯然有，而平面，平面，于是平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，，，則平面，即為直線與平面所成的角，且，因此當(dāng)最短時(shí)，最大，最大，而，則為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，；設(shè)平面的法向量為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，令，得，顯然平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【變式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形．（1）證明：．（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：連接，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面均為正方形，所以四邊形為菱形，則．由底面和側(cè)面均為正方形，得，．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以．?）因?yàn)?，，所以．又平面，所以．，，則．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式4-3】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在五面體中，四邊形的對角線交于點(diǎn)，為等邊三角形，，，.（1）證明：平面；（2）若，求五面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接EF，在和中，，所以，所以，又，，所以≌，則為的中點(diǎn)，所以．在中，，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，，，所以平面?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，所以平面，又平面，所以，又所以平面．因?yàn)?，為等邊三角形，因?yàn)?，所以而，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，，在等邊中，BF是AC的中線，CM是AB的中線，所以G是等邊的重心，所以在中，，則四邊形的面積為．故五面體的體積為．【變式4-4】（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：分別作的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，可得，所以，在等腰梯形中，因?yàn)?，，可得，所以，因?yàn)槭钦切危侵悬c(diǎn)，所以，又由，可知又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知，，且為的中點(diǎn)，可得，過作于，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又由，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.【題型5平行關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)探究問題】滿分技巧1、探索性問題的一般解題思路：先假設(shè)其存在，然后把這個(gè)假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算．在推理論證和計(jì)算無誤的前提下，如果得到了一個(gè)合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個(gè)不合理的結(jié)論，則說明不存在．2、探索性問題的答題步驟：第一步對“是否存在”給出作答，寫出探求的最后結(jié)論；第二步探求結(jié)論的正確性。【例5】（2024·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，四棱錐中，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，且平面．（1）試探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請確定點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；（2）若，且，求平面與平面所成夾角的余弦值．【答案】（1）存在，為的中點(diǎn)，證明見解析；（2）【解析】（1）在線段上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，使得//平面.證明如下：學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 取得中點(diǎn)，連結(jié)，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以∥，且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，所以∥，且，所以∥，且，所以四邊形為平行四邊形，所以∥.因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平?（2）因?yàn)槠矫妫宜倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以平?因?yàn)椋?，所以，，?以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過在平面內(nèi)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，，，即，.令平面的法向量為，則，即.取，則，，即.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?則為平面的一個(gè)法向量.所以.所以平面與平面所成夾角的余弦值.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-1】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)P，使得平面ACE?若存在，試求點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）在等腰梯形ABCD中，，，．平面，平面，，又，面，平面，平面，.（2）在線段上存在，使得平面．證明如下：由已知可得四邊形為矩形，連接交于，連接，由（1）知在中，，則當(dāng)時(shí)，且，則四邊形為平行四邊形，則，又面AEC，面AEC，所以平面．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-2】（2023·北京·高二期中）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析【解析】（1）在四棱錐中，平面，平面，平面，平面平面，所以；（2）如下圖，取為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，則平面.（3）取中點(diǎn)N，連接，，因?yàn)镋，N分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，所以平面，所以線段存在點(diǎn)N，使得平面.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-3】（2023·河北承德·高三校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：；（2）在上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）＝，理由見解析【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．?）設(shè)，則為正方形的中心，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．若平面平面，平面平面，平面平面，所以．因?yàn)?、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)，所以，所以，，又是的中點(diǎn)，所以，所以，所以．故上存在一點(diǎn)，使平面平面，此時(shí)的值為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-4】（2023·重慶·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，，平面，，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，請說明理由；（2）當(dāng)，求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）存在，理由見解析；（2）.【解析】（1）在直線上存在一點(diǎn)，使得平面平面，理由如下：取的中點(diǎn)，連接，由點(diǎn)為中點(diǎn)，得，平面，平面，則平面，又平面,平面，平面平面，則,四邊形是菱形，則，于是四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面.（2）四邊形為菱形，，則為正三角形，，在中，，由余弦定理知，取中點(diǎn)，連接，而是正三角形，則，顯然，即，又，即直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，，，由，得，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面所成二面角為，，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【題型6垂直關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)探究問題】【例6】（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且【解析】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?（2）在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由題意得，平面平面.因?yàn)椋矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫裕?在中，因?yàn)椋?，所以，所以，翻折前，為等邊三角形，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，即，翻折后，仍有，所以，，故，在中，，因?yàn)?，則.又因?yàn)椋瑒t平分，因?yàn)槭切边吷系闹芯€，則，且，所以，是等邊三角形，則，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，綜上，在線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.【變式6-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．（1）若，求證：平面平面；（2）是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】（1）證明：若，則平面、平面為同一個(gè)平面，連接，則M是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，故是的中位線，所以．因?yàn)?，所以平面四邊形是平行四邊形，所以．又平面平面，所以平面同理平面，且平面平面，所以，平面平面．?）假設(shè)存在，使得直線平面．以C為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故．設(shè)是平面的法向量，則，所以，取，得是平面的一個(gè)法向量，取中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接，則．于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，是二面角的平面角，于是，所以，且平面，故，同理，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)?，，所以．若直線平面，是平面的一個(gè)法向量，則．即存在，使得，則，此方程組無解，所以，不存在，使得直線平面．【變式6-2】（2023·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危渣c(diǎn)為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）設(shè)底面邊長為2，連接，由于為菱形，且，故，所以，故有，又三角形為正三角形，為中點(diǎn)，故，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又側(cè)面底面，平面平面，面，所以平面，如圖，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，則有，得到，取，得，，所以，又平面法向量可取為，由題可知，即，解得，故存在點(diǎn)使得平面平面，.法二：三角形為正三角形，是的中點(diǎn)，又側(cè)面底面，平面平面，面，所以平面，連接，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，，所以平面，延長交于，又面，所以平面平面.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，故存在點(diǎn)，使得平面平面，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求證：平面．（2）線段上是否存在點(diǎn)M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理，平面，又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，又平面，?而四邊形是正方形，所以，又，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以.若與重合，則平面的一個(gè)法向量，則，則此時(shí)平面與平面不垂直.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 若與不重合，如圖：設(shè)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，所以，平面平面等價(jià)于，即，得.所以，線段上存在點(diǎn)使平面平面，且.【變式6-4】（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，故平?（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)?，則為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面平面，因此，?dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是空間中三條互不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）A．，則B．且，則C．，則D．，則【答案】B【解析】A.若，則或，故錯(cuò)誤；B.若且，則，故正確；C.若，則或或與相交，故錯(cuò)誤；D.若，則或l與n異面，故錯(cuò)誤.故選：B2．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎硎緝蓷l不同直線，表示平面，則（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】對于A中，由，則相交或平行或異面，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得，所以B正確；對于C中，由，則或，所以C錯(cuò)誤；對于D中，由，則或或或與相交，所以D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，均為棱的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)結(jié)論：①平面平面；②梯形內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面；③過可作一個(gè)平面，使得到這個(gè)平面的距離相等；④梯形的面積是面積的3倍.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】令正方體的棱長為2，連接，交分別于點(diǎn)，連接，顯然矩形是正方體的對角面，則，連接，由分別為棱的中點(diǎn)，得，，于是，而，則四邊形是平行四邊形，有，又，平面，則平面，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 而平面，平面，則平面，因?yàn)槠矫妫虼似矫嫫矫?，①正確；取的中點(diǎn)，連接交分別于，有，則∽，，于是，即，而，則，又平面平面，因此，平面，則平面，又平面，則，而平面，于是平面，顯然點(diǎn)在線段上，在梯形內(nèi)，②正確；連接，顯然，即四邊形是平行四邊形，，因此過可作一個(gè)平面，使得平行于這個(gè)平面，點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，③正確；，且有，，，④正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)是4.故選：A4．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．A．若，，則B．若，，則平面平面C．若，，則面D．若，，則【答案】D【解析】如圖所示，對于選項(xiàng)A，易知，底面，底面，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B，易知，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，顯然平面即平面，故B正確；如上圖所示，對于C項(xiàng)，由正方體的特征可知，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理平面，平面，所以平面，顯然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正確；對于D項(xiàng)，顯然時(shí)，與不平行，故D不正確.故選：D5．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）如圖所示，在平行六面體中，為正方形的中心，分別為線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．平面平面C．直線與平面所成的角為D．【答案】BCD【解析】對于，若平面，因?yàn)?，則平面，或平面，而和平面相交，故A錯(cuò)；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于B，因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面平面，平面，所以平面平面，故B正確；對于C，由于，且，故，而，故平面，而，故與平面所成的角即為與平面所成的角，又AB與AO夾角為，即直線與平面所成的角為，故正確；對于D，設(shè)，則，顯然，故，由，所以，而，所以，故D正確.故選：BCD.6．（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）（多選）在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（）A．存在點(diǎn)，使得面B．存在點(diǎn)，使得面C．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面D．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面【答案】ACD【解析】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由，而面，面，可知面，即A正確.若面，注意到面，則，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，所以，與矛盾，即B錯(cuò)誤.當(dāng)不是的中點(diǎn)時(shí)，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，即C正確.同上，有，又面，面，所以，又面，所以面，則面，即D正確.故選：ACD.7．（2023·廣東廣州·高三廣州市天河中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，是正方形，平面，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）證明：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)榉謩e是線段的中點(diǎn)，則，又因?yàn)闉檎叫?，則，可知，且平面，平面，所以平面，因?yàn)榉謩e是線段的中點(diǎn)，則，且平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面.（2）因?yàn)槠矫妫矫?，則，又因?yàn)槭钦叫?，則，且，平面，所以平面，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又因?yàn)椋云矫?，且平面，所以平面平?8．（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，.（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，平面，所以平?因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又平面，平面，所以平?因?yàn)?，平面，所以平面BCF//平面.（2）設(shè)交于點(diǎn)O，取中點(diǎn)H，連接，所以，底面.以為原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，設(shè)，則，，，，，.所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得；，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)槠矫嫫矫妫?，解得，故的長為1.9．（2023·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）如圖1，山形圖是兩個(gè)全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問題.（1）證明：平面；（2）若平面平面，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）連接與相交于,連接，由于，且,所以,又,所以,平面,平面,所以平面，（2）過作交于，由于平面平面，且兩平面交線為，平面，所以平面，平面,故，又四邊形為直角梯形，故,是平面內(nèi)的兩相交直線，所以平面，平面，故.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 10．（2023·廣東中山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）如圖，連接BD和AC交于點(diǎn)O，連接OF，為正方形，為BD的中點(diǎn)，為DE的中點(diǎn)，，平面ACF，平面ACF，平面ACF．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，所以平面CDE，平面CDE，，為正方形，，，AD，平面DAE，平面DAE，平面DAE，．11．（2024·河南安陽·高三安陽一中校考期末）如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,三角形為正三角形,且側(cè)面底面.分別為線段,的中點(diǎn).（1）求證:平面;（2）在棱上是否存在點(diǎn),使平面平面,請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危渣c(diǎn)為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）在棱上存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.證明:連接.因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平?所以平面，又平面，所以，因?yàn)槭橇庑?，為的中點(diǎn)，所以是正三角形，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面，所?因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槭橇庑?，，所以是正三角?又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?12．（2023·山東濱州·高三統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在為中點(diǎn)，理由見解析【解析】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以平面，又平面，因此．（2）由（1）知，平面，平面，所以．在矩形中，，又因?yàn)?，平?所以平面．平面，所以．又因?yàn)?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）存在為中點(diǎn)時(shí)，平面．證明：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，且．在矩形中，為中點(diǎn)，所以，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又因?yàn)槊婷妫悦妫畬W(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司