新題型新題型地區(qū)專用（解析版）.docx

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備戰(zhàn)2024年高考模擬卷（新題型地區(qū)專用）數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為4，10，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（????）A．，B．1，C．，D．，【答案】D【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，得，，故選：D．2．大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說法一定正確的是（????）A．B．C．üD．【答案】D【解析】對于A，若，則，A錯誤；對于B，若，則，而，B錯誤；對于C，若，則， ，，，C錯誤；對于D，任取元素，則且，則且，于是且，即，反之若任取元素，則且，因此且，即且，所以，即，D正確.故選：D3．已知圓的半徑為2，弦的長為，若，則（????）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.由，，得，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：B.??????4．下表數(shù)據(jù)為年我國生鮮零售市場規(guī)模（單位：萬億元），根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得市場規(guī)模關(guān)于年份代碼的線性回歸方程為，則（????）年份20172018201920202021年份代碼12345市場規(guī)模4.24.44.75.15.6A．1.01B．3.68C．3.78D．4.7【答案】C【解析】由題意得，，，所以.故選：C.5．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（????）． A．若，則點(diǎn)在圓上B．若，則點(diǎn)在橢圓上C．若，則點(diǎn)在雙曲線上D．若，則點(diǎn)在拋物線上【答案】D【解析】表示點(diǎn)與之間的距離，表示點(diǎn)與之間的距離，記，，對于A，，表示點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在線段的中垂線上，故A錯誤；或由，整理得，所以點(diǎn)在，故A錯誤；對于B，由得，這不符合橢圓定義，故B錯誤；對于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯誤；對于D，若，則，整理得，為拋物線，故D正確.故選：D.6．比利時數(shù)學(xué)家旦德林發(fā)現(xiàn)：兩個不相切的球與一個圓錐面都相切，若一個平面在圓錐內(nèi)部與兩個球都相切，則平面與圓錐面的交線是以切點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．如圖所示，這個結(jié)論在圓柱中也適用．用平行光源照射一個放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影區(qū)域內(nèi)（含邊界）有一點(diǎn)，若平行光與桌面夾角為，球的半徑為，則點(diǎn)到球與桌面切點(diǎn)距離的最大值為（????）????A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由題意，如圖所示， 則，所以到球與桌面切點(diǎn)距離的最大值為：，，，故選：D7．已知一個玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線，其通徑長為1，現(xiàn)有一個半徑為的玻璃球放入該玻璃酒杯中，要使得該玻璃球接觸到杯底（盛酒部分），則的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：以軸截面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)玻璃球能夠與杯底接觸時，該玻璃球的軸截面的方程為．因?yàn)閽佄锞€的通徑長為1，則拋物線的方程為，代入圓的方程消元得：，所以原題等價于方程在上只有實(shí)數(shù)解．因?yàn)橛桑没?，所以需或，即或?因?yàn)?，所以，故選：C．8．如圖，圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，若與所成角為，則（????）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系得：，，而的夾角為又，則，由于，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，，，則（????） A．B．的實(shí)部依次成等比數(shù)列C．D．的虛部依次成等差數(shù)列【答案】ABC【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，的?shí)部分別為1，3，9，所以，，的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確；因?yàn)?，，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯誤；，故C正確.故選：ABC.10．函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，則（????）A．函數(shù)的圖象可由函數(shù)向右平移個單位長度得到B．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度為偶函數(shù)的圖象C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．的所有實(shí)根之和為2【答案】BCD【解析】由題意知，又函數(shù)向右平移個單位長度得到，所以A錯誤；函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，由于是偶函數(shù)，所以B正確；，令，解得，當(dāng)時，，所以C正確；當(dāng)時，可得的圖象關(guān)于對稱，曲線也關(guān)于對稱， 與曲線的簡圖如下，,,當(dāng)時，的圖象與曲線有三個交點(diǎn)，所以方程的所有實(shí)根之和為，所以D正確．故選：BCD．11．已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且五點(diǎn)在同一個球面上，則（????）A．B．四面體的體積為C．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)三棱錐的體積為時，點(diǎn)的軌跡長度為【答案】AC【解析】對于A，依題意，可知，設(shè)F為的中點(diǎn)，連接，則，而平面，故平面，平面，故，A正確；對于B，將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為， 則，解得，由于，即異面直線和的距離為，且平面，，所以四面體的體積為，B錯誤；對于C，由以上分析可知，四面體的外接球半徑為，由，知點(diǎn)的軌跡為一個圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，則，解得，所以的軌跡長度為，C正確；對于D，由題意可得,故的外接圓半徑為，所以球心到所在平面的距離為，設(shè)三棱錐的高為h，由三棱錐的體積為時，可得，故，又由，故E點(diǎn)軌跡為外接球上平行于平面且到平面的距離為的兩個截面圓，其中一個圓為外接球的大圓，所以點(diǎn)的軌跡長度大于，D錯誤，故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)非空集合，當(dāng)中所有元素和為偶數(shù)時（集合為單元素時和為元素本身），稱是的偶子集，若集合，則其偶子集的個數(shù)為.【答案】【解析】集合中只有個奇數(shù)時，則集合的可能情況為：、、、、、，共種， 若集合中只有個奇數(shù)時，則集合，只有一種情況，若集合中只含個偶數(shù)，共種情況；若集合中只含個偶數(shù)，則集合可能的情況為、、，共種情況；若集合中只含個偶數(shù)，則集合，只有種情況.因?yàn)槭堑呐甲蛹?，分以下幾種情況討論：若集合中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合的個數(shù)為；若集合中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，共種；若集合中的元素是個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種；若集合中的元素為個奇數(shù)個偶數(shù)，共種.綜上所述，滿足條件的集合的個數(shù)為.故答案為：.13．第33屆奧運(yùn)會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該?，F(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有種（用數(shù)字作答）.【答案】105【解析】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，恰有3名女生人選的選法有種，恰有4名女生人選的選法有種，所以至少有兩名女生人選的選法有（種），故答案為：10514．畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個可以無限重復(fù)的樹形圖形（如圖1）.現(xiàn)由畢達(dá)哥拉斯樹部分圖形作出圖2，為銳角三角形，面積為，以的三邊為邊長的正方形中心分別為，則的最小值為. 【答案】【解析】由題意知，，又，即，得，由余弦定理，得，在中，，由余弦定理可得，又，所以，則.同理，故.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)在和處取得極值.(1)求的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），函數(shù)在和處取得極值．，， 聯(lián)立解得：，．，令，解得和，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增．故和是的極值點(diǎn)，故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使得對任意，不等式恒成立，則需且，故且，解得，或，的取值范圍是,,．16．某個足球俱樂部為了提高隊員的進(jìn)球水平，開展罰點(diǎn)球積分游戲，開始記0分，罰點(diǎn)球一次，罰進(jìn)記2分，罰不進(jìn)記1分．已知該俱樂部某隊員罰點(diǎn)球一次罰進(jìn)的概率為，罰不進(jìn)的概率為，每次罰球相互獨(dú)立．(1)若該隊員罰點(diǎn)球4次，記積分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)記點(diǎn)球積分的概率為．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求．【解析】（1）由題意得，的所有可能取值為4，5，6，7，8，，，的分布列為45678 ．（2）（?。┯深}意得，．（ⅱ）由題意得，要得分，必須滿足以下情形：先得分，再點(diǎn)1個球不進(jìn)，此時概率為，或先得分，再點(diǎn)1個球進(jìn)球，此時概率為，這兩種情況互斥，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，．17．如圖，，是圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，過的平面與交于點(diǎn)，若，點(diǎn)在圓上，.??(1)求證：平面；(2)若，，求三棱錐的體積.【解析】（1）連接，則圓所在平面，而在圓所在平面內(nèi)，∴，又，，，平面，∴平面，又平面，∴，由，且可得， 又，∴，∴為的中點(diǎn)，且，又，，平面，∴平面；（2）由題意得，，，由可得，，∴，，點(diǎn)到底面的距離等于點(diǎn)到底面距離的一半，即為，∴三棱錐的體積.??18．已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)（）在橢圓上，若點(diǎn)，分別在直線，上.(1)求的值；(2)連接并延長交橢圓于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.【解析】（1）∵點(diǎn)在橢圓上，∴.又直線的斜率為，直線的斜率為，∴直線的方程為，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線的斜率為，∴. （2）設(shè)直線的斜率為，則，令，則，可得.而直線的斜率為，∴直線的方程為.聯(lián)立，可得，易得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將其代入回直線，可得，∴，∴直線的斜率為，直線的斜率為，∴，∴，，三點(diǎn)共線.??19．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（互質(zhì)是公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)），例如：，.(1)求，，；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和.【解析】（1），，.（2）∵，∴∵，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.∴，∴，，，∴ ∴.