2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試題另解

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1、2011年第12期132011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試題另解中圖分類號：012文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1005—6416(2011)l2—0013—05第一題如圖1，P、Q分別是圓內(nèi)接四分線；邊形ABCD的對角(2)PC上肋；(3)(A，C，B，D)為調(diào)和點列．線AC、BD的中點．引理2點P與圓和圓的一條弦依次交若BPA=DPA，于點、P、B，則“(A，P，B，P)為調(diào)和點列”證明：是“該弦所在直線為點P的極線”的充要／AQB=CQB．條件．證法1首先引理3若點P在點Q的極線上，則點Q在點P的極線上．給出幾個引理．

2、引理證明見文獻[1]．引理l已知回到原題．點A、日、C、D在一條直線上，尸為直線外一如圖2，設(shè)四邊形ABCD外接圓的圓心點．如下條件可由任兩個推出第三個：為0，聯(lián)結(jié)OP并延長與直線BD交于點P，(1)PC(或PD)為APB內(nèi)(外)角的平聯(lián)結(jié)OQ并延長與直線AC交于點Q．模1O的完全剩余系．則a．十b。，a2+b2，?，也是模l0的完全剩余系．a(chǎn)+6一定不是模l0的完全剩余系．但由題(ii)知0，aI+bl，al+a2+bl+b2，?，本題基本上是由這兩個題目組成．設(shè)好方格至多一個．a(chǎn)I+a2+?+n9+bl+b2

3、+?+b9不妨設(shè)第一行沒有好方格，且第一行的不是模10的完全剩余系，矛盾．?dāng)?shù)依次為al，a2，?，a9．則這表明好的方格至少2個．0，al，al+口2，?，al+a2+?+a9綜上，今年加試的題目，每一道都是不錯的題目．有些雖由舊題改造得來，但花樣翻是模l0的完全剩余系．新，翻得很好．不過有一點值得注意，就是改設(shè)第二行、第行同在第i列的兩個數(shù)造后的題往往比原來的題難．一道難也還不的和是b(1≤i≤9)．則要緊，而每道題都比原來難，那解題者就吃0，bl，bI+b2，?，bl+b2+?+b9消了．例如加試第四題，留著

4、中國數(shù)學(xué)奧林是模l0的完全剩余系；用或許更好．0，nI+bI，nl+bI+02+b2，?，最后，筆者衷心希望今后命題的難度能al+bI+a2+b2+?+n9+b9夠降下來．14中等數(shù)學(xué)一sinDAC—sinAPD‘BpABsinBACABBC蟻A—D‘。jAB,BC(DC2一AD)=AD·DC(BC2一AB)BC·DCfAB·DC—AD·Be)=AB·AD(BC·AD—AB·DC、(朋·DC+AB·AD)(AB·DC-AD·BC)=OA曰·DC=AD·BC．由托勒密定理得AB·DC+AD·BC=AC·BD2A·D

5、C=AC·BD=AB·DC=AC·OQ．A日AC一=——．網(wǎng)2DoDC‘又BAC=QDC，則因為P為AC中點，所以，OP上AC．△BAC∽△QDcABC=DQC．又AP平分BPD，于是，由引理1知同理，(B，，D，P)為調(diào)和點列．△,4QD∽△ABCjAQD=ABC由引理2知直線AC為點P的極線，則／AQO=DQCAQ8=CQ日．點Q在點P的極線上．再由引理3得點P在點Q的極線上，由引理2知(A，M，C，Q)為(張智浩哈爾濱師大附中高三(1)班，調(diào)和點列．150080)證法3如圖3，在o0上取點E，使又OQ上BD

6、，則由引理1知QM平分AE·曰C=·C．聯(lián)結(jié)AE、BE、CE、PE．AQC，即證．參考文獻：[1]武炳杰．從調(diào)和點列到調(diào)和四邊形[J]．中等數(shù)學(xué)．2010(7)．(戴昕悅上海中學(xué)l3屆8班，200231)證法2因為DPA=BPA，所以，COsDPA=COSBPA．故DP+P。一ADBP+AP一AB又+=÷(+DC)，圖3+AP2=(+BC)，則DC一ADBC2一AB由托勒密定理得2DP2‘AE·BC+AB·EC：AC·BE故BP(DC一AD)=DP(BC一AB)．AE·BC=AB·EC=c·BE=BE·cP由正弦

7、定理知BPABAECP～：——．sinBAC—sinAPB’BECB’2011年第12期由／AEB=ACB．知同理．a(chǎn)08=CQ8△AEB∽△PCB．錚AD·BC=AB·CD．同理，△ABE∽△PCE故APB=APD甘aq8=叩&EAB=CP=CPE(王慧興浙江省樂清樂成公立寄宿中APE=APB=APD學(xué)，325600)P、D、Ej點共線，即點D與E重合證法5過點B作o0的切線與交于點層，過點嵌AD·BC=AB-CD=—AC·BD=AC·BQE作OO的?！ぁ狟CAC另一條切線一=～pAD‘與oO交于又qsc=D

8、AC，則’點D．△ADC∽△BOC．又Jp是同理，△9∽△ACD．AC的中點，由于是，AQ8=ADC=8qc．垂徑定理知5(李菁華哈爾濱師大附中高二(2)班，DPfC150080)因為BE是o0的切線，所以，OBj_BE．證法4如圖4，過點作BE#AC與四于是，0、P、B、E、D五點共圓．邊形ABCD的外接圓交于點故DPA=DDE=BOE=BPA：DPA．從而，點D與D重