塑性變形力學(xué)計(jì)算

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1、桿件的塑性變形15.1概述工程問(wèn)題中絕大部分構(gòu)件必須在彈性范圍內(nèi)工作，不允許出現(xiàn)塑性變形。但有些問(wèn)題確須考慮塑性變形。15.2金屬材料的塑性性質(zhì)圖15.1是低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。過(guò)屈服極限后，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系是非線性的有（15.1）圖15.1低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖15.2彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變之間是單值對(duì)應(yīng)的。塑性階段卻并非如此，應(yīng)力和應(yīng)變不再是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系（如圖15.2）。下面是幾種常見(jiàn)的塑性材料模型。圖15.3理想彈塑性材料模型圖15.4剛塑性材料模型圖15.6剛塑性線性強(qiáng)化材料模型圖15.5線性強(qiáng)化材料模型圖15.7冪強(qiáng)化材料模型有時(shí)

2、也把應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系近似地表為冪函數(shù)，冪強(qiáng)化材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖15.7所示。15.3拉伸和壓縮桿系的塑性分析現(xiàn)以圖15.8所示兩端固定的桿件為例來(lái)說(shuō)明靜不定拉壓桿系的塑性分析，當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，桿件兩端的反力是圖15.8兩端固支桿(a)力作用點(diǎn)的位移是(b)如則。隨著的增加，段的應(yīng)力將首先達(dá)到屈服極限。若相應(yīng)的載荷為，載荷作用點(diǎn)的位移為，由（）、（）兩式求得由平衡方程可知(c)載荷作用點(diǎn)的位移為(d)段也進(jìn)入塑性階段時(shí)，，由（）式求出相應(yīng)的載荷為圖15.9三桿桁架載荷達(dá)到后，整個(gè)桿件都已進(jìn)入塑性變形。例18.1在圖15.9所示靜不定結(jié)構(gòu)中，設(shè)三桿的材料相同，橫截

3、面面積同為。試求使結(jié)構(gòu)開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的載荷、極限載荷。解：以和分別表和桿的軸力，表?xiàng)U的軸力。令，，得(e)當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，桿的應(yīng)力首先達(dá)到，這時(shí)的載荷即為。由（）式的第二式得由此解出載荷繼續(xù)增加，中間桿的軸力保持為,兩側(cè)桿件仍然是彈性的。直至兩側(cè)的桿件的軸力也達(dá)到，相應(yīng)的載荷即為極限載荷。這時(shí)由節(jié)點(diǎn)的平衡方程知加載過(guò)程中，載荷與點(diǎn)位移的關(guān)系已表示于圖15.9中。15.4圓軸的塑性扭轉(zhuǎn)圓軸受扭時(shí)，橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線性規(guī)律分布，即(a)圖15.10圓軸受扭轉(zhuǎn)隨著扭矩的逐漸增加，截面邊緣處的最大剪應(yīng)力首先達(dá)到剪切屈服極限（圖15.10）。若相應(yīng)的扭矩為，由（）式知

4、(b)極限扭矩，其值為取代入上式后完成積分，得(15.4)達(dá)到極限扭矩后，軸已經(jīng)喪失承載能力。例18.2設(shè)材料受扭時(shí)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系如圖15.11所示，并可近似地表為式中m和皆為常量。試導(dǎo)出實(shí)心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式。圖15.11剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系解：根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)，可以直接引用3.4中的（）式，求得橫截面上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)?d)式中是扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，為橫截面上一點(diǎn)到圓心的距離，即為該點(diǎn)剪應(yīng)變。（）式表明，沿橫截面半徑，各點(diǎn)的剪應(yīng)變是按直線規(guī)律變化的（圖15.11）。由（）、（）兩式求出(e)或者寫成(f)橫截面上的扭矩應(yīng)為取,并以(f)式

5、代入上式，(g)從（）和（）兩式中消去，得剪應(yīng)力的計(jì)算公式(h)令，得最大剪應(yīng)力為當(dāng)時(shí)，材料變?yōu)榫€彈性的，上式變?yōu)橛桑ǎ┦街视蟹e分求得相距為的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)為(i)當(dāng)，時(shí)，上式化為這就是公式（3.17）。15.5塑性彎曲和塑性鉸15．5．1純彎曲根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上距中性軸為y的點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?a)式中是曲線的曲率。靜力方程：(b)(c)在線彈性階段，有(d)若以表示開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎距，由（）式知(e)載荷逐漸增加，橫截面上塑性區(qū)逐漸擴(kuò)大，且塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力保持為（圖15.12）。最后，橫截面上只剩下鄰近中性軸的很小區(qū)域內(nèi)材料是彈性的。此時(shí)，無(wú)論在拉應(yīng)力區(qū)或壓

6、應(yīng)力區(qū)，都有如以和分別表示中性軸兩側(cè)拉應(yīng)力區(qū)和壓應(yīng)力區(qū)的面積，則靜力方程（）化為若整個(gè)橫截面面積為，則應(yīng)有故有(15.5)圖15.12純彎曲極限情況下的彎矩即為極限彎矩，由靜力方程（）得圖15.14矩形截面梁的橫力彎曲和塑性鉸式中和分別是和的形心到中性軸的距離。利用公式（18.5）又可把上式寫成(15.6)【例15.3】在純彎曲情況下，計(jì)算矩形截面梁和圓截面梁開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎矩和極限彎距。解：對(duì)矩形截面梁（圖15.13），由（）式得開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的彎矩為由公式（15.13）求得極限彎矩為圖15.13矩形截面和圓截面和之比為所以從出現(xiàn)塑性變形到極限情況，彎矩增加了

7、50%。對(duì)圓截面梁,從開(kāi)始塑性變形到極限情況，彎矩增加70%。15.5.2橫力彎曲橫力彎曲情況下，彎矩沿梁軸線變化，橫截面上除彎矩外還有剪力。圖15.14中陰影線的部分，為梁內(nèi)形成的塑性區(qū)。把坐標(biāo)原點(diǎn)放在跨度中點(diǎn)，并將坐標(biāo)為的橫截面上的應(yīng)力分布情況放大成圖15.14。在這一截面的塑性區(qū)內(nèi)，；彈性區(qū)內(nèi)，。為塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應(yīng)為(15.7)還可由載荷及反力算出這一橫截面上的彎矩為令以上兩式相等，得(f)這就是梁內(nèi)塑性區(qū)邊界的方程。設(shè)開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形的截面的坐標(biāo)為，在（）式中，令，，得由此求得塑性區(qū)的長(zhǎng)度為式