塑性變形力學計算

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1、桿件的塑性變形15.1概述工程問題中絕大部分構件必須在彈性范圍內工作，不允許出現塑性變形。但有些問題確須考慮塑性變形。15.2金屬材料的塑性性質圖15.1是低碳鋼拉伸的應力-應變曲線。過屈服極限后，應力和應變的關系是非線性的有（15.1）圖15.1低碳鋼拉伸的應力-應變曲線圖15.2彈塑性應力-應變彈性范圍內，應力和應變之間是單值對應的。塑性階段卻并非如此，應力和應變不再是單值對應的關系（如圖15.2）。下面是幾種常見的塑性材料模型。圖15.3理想彈塑性材料模型圖15.4剛塑性材料模型圖15.6剛塑性線性強化材料模型圖15.5線性強化材料模型圖15.7冪強化材料模型有時也把應力-

2、應變關系近似地表為冪函數，冪強化材料的應力-應變關系曲線如圖15.7所示。15.3拉伸和壓縮桿系的塑性分析現以圖15.8所示兩端固定的桿件為例來說明靜不定拉壓桿系的塑性分析，當載荷逐漸增加時，桿件兩端的反力是圖15.8兩端固支桿(a)力作用點的位移是(b)如則。隨著的增加，段的應力將首先達到屈服極限。若相應的載荷為，載荷作用點的位移為，由（）、（）兩式求得由平衡方程可知(c)載荷作用點的位移為(d)段也進入塑性階段時，，由（）式求出相應的載荷為圖15.9三桿桁架載荷達到后，整個桿件都已進入塑性變形。例18.1在圖15.9所示靜不定結構中，設三桿的材料相同，橫截面面積同為。試求使結

3、構開始出現塑性變形的載荷、極限載荷。解：以和分別表和桿的軸力，表桿的軸力。令，，得(e)當載荷逐漸增加時，桿的應力首先達到，這時的載荷即為。由（）式的第二式得由此解出載荷繼續(xù)增加，中間桿的軸力保持為,兩側桿件仍然是彈性的。直至兩側的桿件的軸力也達到，相應的載荷即為極限載荷。這時由節(jié)點的平衡方程知加載過程中，載荷與點位移的關系已表示于圖15.9中。15.4圓軸的塑性扭轉圓軸受扭時，橫截面上的剪應力沿半徑按線性規(guī)律分布，即(a)圖15.10圓軸受扭轉隨著扭矩的逐漸增加，截面邊緣處的最大剪應力首先達到剪切屈服極限（圖15.10）。若相應的扭矩為，由（）式知(b)極限扭矩，其值為取代入上

4、式后完成積分，得(15.4)達到極限扭矩后，軸已經喪失承載能力。例18.2設材料受扭時剪應力和剪應變的關系如圖15.11所示，并可近似地表為式中m和皆為常量。試導出實心圓軸扭轉時應力和變形的計算公式。圖15.11剪應力和剪應變的關系解：根據圓軸扭轉的平面假設，可以直接引用3.4中的（）式，求得橫截面上任意點處的剪應變?yōu)?d)式中是扭轉角沿軸線的變化率，為橫截面上一點到圓心的距離，即為該點剪應變。（）式表明，沿橫截面半徑，各點的剪應變是按直線規(guī)律變化的（圖15.11）。由（）、（）兩式求出(e)或者寫成(f)橫截面上的扭矩應為取,并以(f)式代入上式，(g)從（）和（）兩式中消去，

5、得剪應力的計算公式(h)令，得最大剪應力為當時，材料變?yōu)榫€彈性的，上式變?yōu)橛桑ǎ┦街视蟹e分求得相距為的兩個橫截面的相對扭轉為(i)當，時，上式化為這就是公式（3.17）。15.5塑性彎曲和塑性鉸15．5．1純彎曲根據平面假設，橫截面上距中性軸為y的點的應變?yōu)?a)式中是曲線的曲率。靜力方程：(b)(c)在線彈性階段，有(d)若以表示開始出現塑性變形時的彎距，由（）式知(e)載荷逐漸增加，橫截面上塑性區(qū)逐漸擴大，且塑性區(qū)內的應力保持為（圖15.12）。最后，橫截面上只剩下鄰近中性軸的很小區(qū)域內材料是彈性的。此時，無論在拉應力區(qū)或壓應力區(qū)，都有如以和分別表示中性軸兩側拉應力區(qū)和壓應

6、力區(qū)的面積，則靜力方程（）化為若整個橫截面面積為，則應有故有(15.5)圖15.12純彎曲極限情況下的彎矩即為極限彎矩，由靜力方程（）得圖15.14矩形截面梁的橫力彎曲和塑性鉸式中和分別是和的形心到中性軸的距離。利用公式（18.5）又可把上式寫成(15.6)【例15.3】在純彎曲情況下，計算矩形截面梁和圓截面梁開始出現塑性變形時的彎矩和極限彎距。解：對矩形截面梁（圖15.13），由（）式得開始出現塑性變形的彎矩為由公式（15.13）求得極限彎矩為圖15.13矩形截面和圓截面和之比為所以從出現塑性變形到極限情況，彎矩增加了50%。對圓截面梁,從開始塑性變形到極限情況，彎矩增加70%

7、。15.5.2橫力彎曲橫力彎曲情況下，彎矩沿梁軸線變化，橫截面上除彎矩外還有剪力。圖15.14中陰影線的部分，為梁內形成的塑性區(qū)。把坐標原點放在跨度中點，并將坐標為的橫截面上的應力分布情況放大成圖15.14。在這一截面的塑性區(qū)內，；彈性區(qū)內，。為塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應為(15.7)還可由載荷及反力算出這一橫截面上的彎矩為令以上兩式相等，得(f)這就是梁內塑性區(qū)邊界的方程。設開始出現塑性變形的截面的坐標為，在（）式中，令，，得由此求得塑性區(qū)的長度為式