塑性變形力學(xué)計(jì)算

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1、桿件的塑性變形15.1概述工程問題中絕大部分構(gòu)件必須在彈性范圍內(nèi)工作，不允許出現(xiàn)塑性變形。但有些問題確須考慮塑性變形。15.2金屬材料的塑性性質(zhì)圖15.1是低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。過屈服極限后，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系是非線性的有（15.1）圖15.1低碳鋼拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖15.2彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變之間是單值對應(yīng)的。塑性階段卻并非如此，應(yīng)力和應(yīng)變不再是單值對應(yīng)的關(guān)系（如圖15.2）。下面是幾種常見的塑性材料模型。圖15.3理想彈塑性材料模型圖15.4剛塑性材料模型圖15.6剛塑性線性強(qiáng)化材

2、料模型圖15.5線性強(qiáng)化材料模型圖15.7冪強(qiáng)化材料模型有時(shí)也把應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系近似地表為冪函數(shù)，冪強(qiáng)化材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖15.7所示。15.3拉伸和壓縮桿系的塑性分析現(xiàn)以圖15.8所示兩端固定的桿件為例來說明靜不定拉壓桿系的塑性分析，當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，桿件兩端的反力是圖15.8兩端固支桿(a)力作用點(diǎn)的位移是(b)如則。隨著的增加，段的應(yīng)力將首先達(dá)到屈服極限。若相應(yīng)的載荷為，載荷作用點(diǎn)的位移為，由（）、（）兩式求得由平衡方程可知(c)載荷作用點(diǎn)的位移為(d)段也進(jìn)入塑性階段時(shí)，，由（）式求出相應(yīng)的載荷

3、為圖15.9三桿桁架載荷達(dá)到后，整個(gè)桿件都已進(jìn)入塑性變形。例18.1在圖15.9所示靜不定結(jié)構(gòu)中，設(shè)三桿的材料相同，橫截面面積同為。試求使結(jié)構(gòu)開始出現(xiàn)塑性變形的載荷、極限載荷。解：以和分別表和桿的軸力，表?xiàng)U的軸力。令，，得(e)當(dāng)載荷逐漸增加時(shí)，桿的應(yīng)力首先達(dá)到，這時(shí)的載荷即為。由（）式的第二式得由此解出載荷繼續(xù)增加，中間桿的軸力保持為,兩側(cè)桿件仍然是彈性的。直至兩側(cè)的桿件的軸力也達(dá)到，相應(yīng)的載荷即為極限載荷。這時(shí)由節(jié)點(diǎn)的平衡方程知加載過程中，載荷與點(diǎn)位移的關(guān)系已表示于圖15.9中。15.4圓軸的塑性扭轉(zhuǎn)圓軸受

4、扭時(shí)，橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線性規(guī)律分布，即(a)圖15.10圓軸受扭轉(zhuǎn)隨著扭矩的逐漸增加，截面邊緣處的最大剪應(yīng)力首先達(dá)到剪切屈服極限（圖15.10）。若相應(yīng)的扭矩為，由（）式知(b)極限扭矩，其值為取代入上式后完成積分，得(15.4)達(dá)到極限扭矩后，軸已經(jīng)喪失承載能力。例18.2設(shè)材料受扭時(shí)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系如圖15.11所示，并可近似地表為式中m和皆為常量。試導(dǎo)出實(shí)心圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式。圖15.11剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的關(guān)系解：根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)，可以直接引用3.4中的（）式，求得橫截面上任意

5、點(diǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)?d)式中是扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率，為橫截面上一點(diǎn)到圓心的距離，即為該點(diǎn)剪應(yīng)變。（）式表明，沿橫截面半徑，各點(diǎn)的剪應(yīng)變是按直線規(guī)律變化的（圖15.11）。由（）、（）兩式求出(e)或者寫成(f)橫截面上的扭矩應(yīng)為取,并以(f)式代入上式，(g)從（）和（）兩式中消去，得剪應(yīng)力的計(jì)算公式(h)令，得最大剪應(yīng)力為當(dāng)時(shí)，材料變?yōu)榫€彈性的，上式變?yōu)橛桑ǎ┦街视蟹e分求得相距為的兩個(gè)橫截面的相對扭轉(zhuǎn)為(i)當(dāng)，時(shí)，上式化為這就是公式（3.17）。15.5塑性彎曲和塑性鉸15．5．1純彎曲根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上

6、距中性軸為y的點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?a)式中是曲線的曲率。靜力方程：(b)(c)在線彈性階段，有(d)若以表示開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎距，由（）式知(e)載荷逐漸增加，橫截面上塑性區(qū)逐漸擴(kuò)大，且塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力保持為（圖15.12）。最后，橫截面上只剩下鄰近中性軸的很小區(qū)域內(nèi)材料是彈性的。此時(shí)，無論在拉應(yīng)力區(qū)或壓應(yīng)力區(qū)，都有如以和分別表示中性軸兩側(cè)拉應(yīng)力區(qū)和壓應(yīng)力區(qū)的面積，則靜力方程（）化為若整個(gè)橫截面面積為，則應(yīng)有故有(15.5)圖15.12純彎曲極限情況下的彎矩即為極限彎矩，由靜力方程（）得圖15.14矩形截面梁的橫力彎

7、曲和塑性鉸式中和分別是和的形心到中性軸的距離。利用公式（18.5）又可把上式寫成(15.6)【例15.3】在純彎曲情況下，計(jì)算矩形截面梁和圓截面梁開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎矩和極限彎距。解：對矩形截面梁（圖15.13），由（）式得開始出現(xiàn)塑性變形的彎矩為由公式（15.13）求得極限彎矩為圖15.13矩形截面和圓截面和之比為所以從出現(xiàn)塑性變形到極限情況，彎矩增加了50%。對圓截面梁,從開始塑性變形到極限情況，彎矩增加70%。15.5.2橫力彎曲橫力彎曲情況下，彎矩沿梁軸線變化，橫截面上除彎矩外還有剪力。圖15.14中

8、陰影線的部分，為梁內(nèi)形成的塑性區(qū)。把坐標(biāo)原點(diǎn)放在跨度中點(diǎn)，并將坐標(biāo)為的橫截面上的應(yīng)力分布情況放大成圖15.14。在這一截面的塑性區(qū)內(nèi)，；彈性區(qū)內(nèi)，。為塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界線到中性軸的距離。故截面上的彎矩應(yīng)為(15.7)還可由載荷及反力算出這一橫截面上的彎矩為令以上兩式相等，得(f)這就是梁內(nèi)塑性區(qū)邊界的方程。設(shè)開始出現(xiàn)塑性變形的截面的坐標(biāo)為，在（）式中，令，，得由此求得塑性區(qū)的長度為式