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《矩陣a的m重伴隨矩陣的性質(zhì)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文矩陣A的m重伴隨矩陣的性質(zhì)數(shù)學(xué)系01數(shù)本2001141105程清妹指導(dǎo)老師：楊忠鵬摘要 本文定義了矩陣的重伴隨矩陣，并利用已有的理論成果，對的性質(zhì)進(jìn)行推廣，主要討論了的行列式、秩、轉(zhuǎn)置和逆矩陣與的關(guān)系，及為特殊陣與為特殊陣之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)的重伴隨矩陣的性質(zhì)與的性質(zhì)很相似.關(guān)鍵詞 矩陣；伴隨矩陣；秩；特征值；數(shù)學(xué)歸納法0引言設(shè)是階方陣，的伴隨矩陣定義如下定義1 設(shè)是階方陣的元素的代數(shù)余子式，則階方陣，其中，稱為的伴隨矩陣 本文推廣了這一定義，給出了
2、的重伴隨矩陣的概念定義2 設(shè)為階方陣，稱階方陣為的重伴隨矩陣，記為＝,特別地，，引理 設(shè)為階方陣，則秩 證明：（1）當(dāng)秩，即可逆時(shí)，由于，故也是可逆的，即秩； （2）當(dāng)秩時(shí)，有，于是，從而秩； 又因?yàn)橹?，所以至少有一個(gè)代數(shù)余子式，從而又有秩， 于是秩 （3）當(dāng)8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文引理 設(shè)為階方陣，則有證明：（1）當(dāng)時(shí)，由引理1知秩，如果，由引理1知秩，因此如果，令也有（2）當(dāng)時(shí)，則也，則，于是 主要結(jié)果命題1.1 當(dāng)＝時(shí)，秩＝ 當(dāng)>
3、2時(shí)，秩＝證明： 當(dāng)>時(shí)由引理1知， 秩＝ 所以 秩 秩 當(dāng)時(shí) 設(shè)＝，則，8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 所以 因此 秩＝秩＝命題得證命題1.2 設(shè)為階方陣（），＝證明：（1）因?yàn)椤‘?dāng)，時(shí) 從而得到關(guān)于的指數(shù)的一個(gè)數(shù)列，且 由數(shù)列的性質(zhì)得到通項(xiàng)公式，則同理可證，當(dāng)， 從而得到關(guān)于的指數(shù)
4、的一個(gè)數(shù)列，且 8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文由數(shù)列性質(zhì)得到通項(xiàng)公式，則（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論 當(dāng)，時(shí)， ?。剑?，有，則＝，等式成立 設(shè)時(shí)，等式成立，即＝ 當(dāng)時(shí)，=等式成立 綜上所述，當(dāng)，，有同理可證，當(dāng)，，有命題得證命題1.3 證明：若，由引理1知，當(dāng)時(shí)，，則有 若，即 時(shí)，有命題1.4 可逆時(shí)，有=證明：（數(shù)學(xué)歸納法） 當(dāng)時(shí)，，等式成立 設(shè)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，有又由1.2
5、知，8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文命題得證命題1.5 證明：由數(shù)學(xué)歸納法和1.2即可證得命題1.6 若是冪等陣，則也是冪等陣。證明：因?yàn)椤?，所以或 若，由引?知，，則 若，可逆，則，即，所以 命題得證命題1.7 若是對合陣，則也是對合陣。反之也成立證明：由，得＝１或＝－１，且＝由1.2知，當(dāng)時(shí)，由知， 當(dāng)時(shí)，由知 所以，當(dāng)時(shí)，有 反之，若，則＝或=，且 由1.2知，＝１或＝－１， 由1.4，當(dāng)時(shí)，所以 ，由知，即同理可證，當(dāng)時(shí)
6、，因此，當(dāng)，時(shí)，有命題得證命題1.8 若是正定陣，則也是正定陣，反之為正定陣，且為偶數(shù)， 可逆時(shí)，為正定陣8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文證明：若正定，則，，有 因?yàn)椤?， 又由 ，正定，，得正定 同理可證，正定，以此類推，正定反之，若正定，有正定因?yàn)椤?，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，有為奇數(shù)，則由1.2知，當(dāng)時(shí)，，正定，所以為正定陣同理可證，當(dāng)時(shí)，也是正定陣命題得證命題1.9 若是正交陣，則是正交陣。反之也成立 證明：由已知得，且或 當(dāng)時(shí)，由1.5知由1.4知，由上述可得時(shí)，，有，即為正
7、交陣若，當(dāng)，，由，，知同理可證，當(dāng)時(shí)，有所以，，，有，即為正交陣綜上所述，若是正交陣，則是正交陣 反之，若，且或，8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文則由1.2知或由1.5知，當(dāng)時(shí)，得 ，由知，即同理可證，當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，有命題得證命題1.10 設(shè)是階方陣（），若是冪零陣，則是冪零陣證明：由，得或秩 ?。?）若，則（2）若秩，由1.1知，當(dāng)時(shí)，秩，則 當(dāng)時(shí)，，有 所以，當(dāng)，有命題1.11 若是對稱陣，則也是對稱。反之是對稱陣，且是可逆的，則是對稱陣證明：運(yùn)用1.
8、2即可得到命題1.12 若為反對稱陣，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為對稱陣；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為反對稱證明：運(yùn)用1.2即可得到結(jié)束語：本文得出的重伴隨矩陣的一些性質(zhì)與的關(guān)系，使的重伴隨矩陣的性質(zhì)簡單化，望以后能進(jìn)一步探論的重伴隨矩陣的其它性質(zhì)。8莆田學(xué)院2001級本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文參考文獻(xiàn):北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).第2版.[M]高等教育出版社.1978.(176-207)楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解.第2版.[M]山東科學(xué)技術(shù)出版社.2003.(522-54
