《方差與協(xié)方差》PPT課件

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1、隨機變量的數(shù)學期望(均值),它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平,是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在很多場合,僅僅知道平均值是不夠的.§2隨機變量的方差例如,某零件的真實長度為a,現(xiàn)在用甲、乙兩臺儀器各測量10次,并將測量結果X用坐標上的點表示如圖：問:哪臺儀器的測量效果好一些？甲儀器測量結果乙儀器測量結果較好因為乙儀器的測量結果更集中在均值附近.測量結果的均值都是a為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量在其中心(即均值)附近取值的離散程度(或集中程度).這個數(shù)字特征就是:方差.再如:考察某車床加工軸承的質量時,若最關鍵的指標為長度,則不但要注意軸承的平均長度,同時還要考慮

2、軸承長度與平均長度的偏離程度(即加工的精度);等等.我們該用怎樣的量去度量這種偏離程度呢?X?E(X)?E[X?E(X)]?E[

3、X?E(X)

4、]?E{[X?E(X)]2}一、方差(variance)的定義隨機變量X的平方偏差[X?E(X)]2的均值記作或Var(X),叫做X的方差.而記作叫做X的標準差或均方差.方差刻劃了隨機變量取值的離散程度:若X的取值比較集中,則方差較??；若X的取值比較分散,則方差較大.如:據(jù)以往記錄,甲乙兩射手命中環(huán)數(shù)X、Y的分布律為X678910P0.10.20.40.20.1Y678910P0.20.20.20.20.2及可以算出:兩人命中環(huán)數(shù)的平均水

5、平相同,從中看不出兩人射擊技術的高低;但說明甲的命中環(huán)數(shù)比乙的更集中,即甲的射擊技術比乙的穩(wěn)定.二.方差的簡化計算公式即:方差等于平方的期望減期望的平方.證明:例:設X的概率密度為且D(X)=1/18,求a,b及E(X).而解:由歸一性得故解得b=0,a=2,E(X)=2/3或b=2,a=?2,E(X)=1/3.例:設(X,Y)的概率密度為試求D(X),D(Y).解:xy01y=x三.常見分布的期望與方差(3)則(2)則(1)則(4)則(5)則四.方差的性質(1)對任意常數(shù)k與c有:D(kX+c)=k2D(X).(2)設X與Y相互獨立,則進一步,若X1,…,Xn相互獨立,則對任意

6、常數(shù)c1,…,cn有:D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X?Y)=D(X)+D(Y).D(c1X1+…+cnXn)=c12D(X1)+…+cn2D(Xn).(3)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即P{X=C}=1.例:則解:X表示n重伯努利試驗中“成功”的次數(shù),p為每次試驗成功的概率,則X~B(n,p);引入1,若第i次試驗成功,0,若第i次試驗失敗.i=1,2,…,n,則X1,X2,…,Xn相互獨立,且而Xi的分布律為Xi01Pqp故E(Xi)=p,E(Xi2)=p,D(Xi)=E(Xi2)?[E(Xi)]2=pq,從而例:有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正

7、態(tài)分布,若且它們相互獨立,則解:五.隨機變量的標準化設X具有為X的標準化隨機變量.E(Y)=0,D(Y)=1.則叫六.切比雪夫(Chebyshev)不等式對X,若E(X),D(X)都存在,則對或(1)方差確實能衡量隨機變量取值的離散程度.(2)該不等式能在X的分布未知的情況下對的概率的下限作一估計,若記則等等.一、協(xié)方差隨機變量X和Y的協(xié)方差前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差,對于多維隨機變量，反映分量之間關系的數(shù)字特征中,最重要的就是協(xié)方差和相關系數(shù).§3協(xié)方差(Covariance)和相關系數(shù)1.定義:(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=a

8、bCov(X,Y),a,b是常數(shù)(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)2.簡單性質:3.協(xié)方差的簡化計算公式:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)可見，若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=0.4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)二、相關系數(shù)1.定義:設D(X)>0,D(Y)>0,稱為隨機變量X和Y的相關系數(shù).注:相關系數(shù)也叫標準協(xié)方差,其實是標準化隨機變量的協(xié)方差.與2.相關系數(shù)的性質:存在常數(shù)a,b使即X和Y以概率1線性相關.可見相關系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.的值越接近于1,Y

9、與X的線性相關程度越高;的值越接近于0,Y與X的線性相關程度越弱;則Y與X有嚴格線性關系;若若則Y與X無線性關系,叫做X與Y不相關.注意:若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0,但由X與Y不相關,不一定能推出X與Y獨立.而對下述情形,獨立與不相關等價:若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨立X與Y不相關.從而X與Y不相關;例:設X在(?1/2,1/2)內服從均勻分布,而Y=cosX,試考察X與Y的相關性及獨立性?解:而Y與X有嚴格的函數(shù)關系,因此Co