實變函數(shù)與泛函分析要點

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1、實變函數(shù)與泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性質(zhì)。2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其運算性質(zhì)。3、會求已知集合的并、交、差、余集。4、了解對等的概念及性質(zhì)。5、掌握可數(shù)集合的概念和性質(zhì)。6、會判斷己知集合是否是可數(shù)集。7、理解基數(shù)、不可數(shù)集合、連續(xù)基數(shù)的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章點集基本要求：1、理解n維歐氏空間中的鄰域、區(qū)間、開區(qū)間、閉區(qū)間、體積的概念。2、掌握內(nèi)點、聚點的概念、理解外點、界點、孤立點的概念。掌握聚點的性質(zhì)。3、掌

2、握開核、導(dǎo)集、閉區(qū)間的概念及其性質(zhì)。4、會求己知集合的開集和導(dǎo)集。5、掌握開核、閉集、完備集的概念及其性質(zhì)，掌握一批例子。6、會判斷一個集合是非是開（閉）集，完備集。7、了解Peano曲線概念。主要知識點：一、基本結(jié)論：1、聚點性質(zhì)§2中T1聚點原則：P0是E的聚點P0的任一鄰域內(nèi)，至少含有一個屬于E而異于P0的點存在E中互異的點列{Pn}，使Pn→P0（n→∞）2、開集、導(dǎo)集、閉集的性質(zhì)§2中T2、T3T2：設(shè)A?B，則A??B?，?，?。T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、開（閉）集性質(zhì)（§3中T

3、1、2、3、4、5）T1：對任何E?R?，?是開集，E′和都是閉集。（?稱為開核，稱為閉包的理由也在于此）T2：（開集與閉集的對偶性）設(shè)E是開集，則CE是閉集；設(shè)E是閉集，則CE是開集。T3：任意多個開集之和仍是開集，有限多個開集之交仍是開集。T4：任意多個閉集之交仍是閉集，有限個閉集之和仍是閉集。T5：（Heine-Borel有限覆蓋定理）設(shè)F是一個有界閉集，?是一開集族{Ui}i?I它覆蓋了F（即FсUi），則?中一定存在有限多個開集U1，U2…Um，它們同樣覆蓋了F（即F?Ui）（i?I）4、開

4、（閉）集類、完備集類。開集類：R?，Φ，開區(qū)間，鄰域、?、Pо閉集類：R?，Φ，閉區(qū)間，有限集，E?、E、P完備集類：R?，Φ，閉區(qū)間、P28二、基本方法：1、判斷五種點的定義；2、利用性質(zhì)定理，判斷導(dǎo)集、鄰域等；3、判斷開集、閉集；4、關(guān)于開閉集的證明。第三章測度論基本要求：1、理解外測度的概念及其有關(guān)性質(zhì)。2、掌握要測集的概念及其有關(guān)性質(zhì)。3、掌握零測度集的概念及性質(zhì)。4、熟悉開集、閉集、區(qū)間、波雷樂集等可測集，掌握一批可測集的例子。5、會利用本章知識計算一些集合的測度。6、掌握“判斷集合可測性”

5、的方法，會進行有關(guān)可測集的證明。要點歸納：外測度：①定義：E?R?Ii（開區(qū)間）Ii?Em*（E）=inf│Ii│②性質(zhì)：(1)0≤m*E≤+∞（非負）（2）若AсB則m*A≤m*B（單調(diào)性）（3）m*（Ai）≤m*Ai（次可列可加性）③可測集：E?R?對任意的T?R?有：m*（T）=m*（T∩E）+m*（T∩CE）稱E為可測集，記為mE其性質(zhì)：1）T1：E可測A?EB?CE使m*（A∪B）=m*A+m*B2）T2：E可測CE可測④運算性質(zhì)：設(shè)S1、S2可測?S1∪S2可測（T3）；設(shè)S1、S2可測?

6、S1∩S2可測（T4）；設(shè)S1、S2可測?S1-S2可測（T5）。⑤S1、S2…Sn可測?∪Si可測（推論3）∩Si可測（T7）⑥S1、S2…Sn…可測，Si∩Sj=φ?∪Si可測m(∪Si)=∑m(Si)(T6)⑦Si遞增,S1?S2?S3?…?lim(∪Si)=limmSi=Ms(T8)⑧Si遞降可測,S1?S2?S3?…當mS1<+∞?limm(∩Si)=limmSn(T9)⑨可測集類:1)零測度集:可數(shù)集、可列點集、Q、[0，1]∩Q、Ф、P零測度集的子集是~，有限個、可數(shù)個零測度集之并是~。

7、2）區(qū)間是可測集mI=│I│3）開集、閉集；4）Borel集定義，設(shè)G可表為一列開集的交集，且稱G為Gδ型集如[-1，1]；設(shè)F可表為一列閉集之并，則稱為Fσ型集，如[0，1]Borel集定義：從開集出發(fā)，用取余集、取有限個或可列個集合的并集或交集（不超過可數(shù)次）的集合。T6：設(shè)E是任一可測集，存在Gδ集，使E?G，且m（G-E）=0T7：設(shè)E是任一可測集，存在Gσ集，使F?E，且m（F-E）=0可測集是存在的。第四章可測函數(shù)基本要求：1、掌握可測函數(shù)的概念和主要性質(zhì)。2、28掌握點集上的連續(xù)函數(shù)、簡

8、單函數(shù)、幾乎處處成立（幾乎處處相等、幾乎處處有限、幾乎處處收斂…）的概念。1、掌握一批可測函數(shù)的例子。2、掌握判斷函數(shù)可測性的方法，會進行關(guān)于可測函數(shù)的證明。3、理解葉果洛夫定理和魯金定理。4、了解依測度收斂的概念及其性質(zhì)。5、理解三種收斂之間的關(guān)系。(一)基本概念1可測函數(shù)：?是定義在可測集ER?上的實函數(shù)，任意的α∈RE[?>α]是可測集，稱?（x）是E上的可測函數(shù)?可測?任意的α∈RE[?≧α]是可測集?任意的α∈RE[?<α]是可測集?任意的α∈