實(shí)變函數(shù)與泛函分析

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1、實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)部專業(yè)教研室主講人孫士國(guó)11.實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容（一）顧名思義：《實(shí)變函數(shù)論》即討論以實(shí)數(shù)為變量的函數(shù)　中學(xué)學(xué)的函數(shù)概念都是以實(shí)數(shù)為變量的函數(shù)大學(xué)的數(shù)學(xué)分析，常微分方程也是研究的以實(shí)數(shù)為變量的函數(shù)《實(shí)變函數(shù)論》還有哪些內(nèi)容可學(xué)呢？簡(jiǎn)單地說：《實(shí)變函數(shù)論》只做一件事，那就是恰當(dāng)?shù)母脑旆e分定義使得更多的函數(shù)可積，使得操作更加靈活。2(2)Riemann可積的充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積xi-1xixi-1xi3Rieman積分的缺陷：Rieman積分缺陷產(chǎn)生的根源：分化呆板、苛刻：必須將定義域分成區(qū)間

2、，無論區(qū)間多么?。?x)的最大值都是１，最小值都是０。導(dǎo)致Ｄ(x)的大小和之差恒為１，無法任意小。4克服Rieman積分的缺陷的新思路：yiyi-1用mEi表示Ei的“長(zhǎng)度”5實(shí)現(xiàn)新思路的攻關(guān)路線：首要問題：如何規(guī)定不規(guī)則集合的長(zhǎng)度？（第三章：測(cè)度論）遺憾：不能對(duì)所有集合規(guī)定測(cè)度退而求其次：探索哪些函數(shù)滿足（第四章：可測(cè)函數(shù)）6準(zhǔn)備充分后就改造積分定義：方法２：隨機(jī)應(yīng)變直接規(guī)定方法１：根據(jù)初衷規(guī)定（第五章：積分理論）接著討論積分的性質(zhì)：（第六章：微分與積分）（第一章，第二章是必備公共基礎(chǔ)）72.《實(shí)變函數(shù)與泛函》的特點(diǎn)（一）高度抽象，防

3、不勝防：抽象到什么程度呢？有人用八個(gè)字概括為：“似是而非，似非而是”。在此舉以下兩例說明之：例１：若許多同學(xué)站成一列，且男女生交叉排列，任意兩個(gè)男生中間有女生，任意兩個(gè)女生中間有男生，在其中任取一個(gè)片段，男女生的個(gè)數(shù)無非有三種可能，但男女生個(gè)數(shù)至多相差一個(gè)。任意兩個(gè)有理數(shù)中有無理術(shù)，任意兩個(gè)無理數(shù)中間有有理數(shù)，而任取一個(gè)片段，無理數(shù)卻比有理數(shù)多得多1，即“似是而非”例２：有理數(shù)在直線上密密麻麻，自然數(shù)在直線上稀稀拉拉，如果以前有人說自然數(shù)與有理數(shù)一樣多的話，沒人敢承認(rèn)，而《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》通過嚴(yán)密論證該結(jié)論無可非議。這就是所謂“似非

4、而是”。82.《實(shí)變函數(shù)與泛函》的特點(diǎn)（二）例題少、定理、定義、引理、推論多，理論性強(qiáng)：理論性強(qiáng)是由于實(shí)變函數(shù)與泛函分析的內(nèi)容結(jié)構(gòu)所決定的，因它只做一件事：恰當(dāng)?shù)母脑旆e分定義使得更多的函數(shù)可積。這就使得實(shí)變函數(shù)與泛函分析的絕大部分篇幅都是在作理論上的準(zhǔn)備，很少有應(yīng)用、例題的原因。但從另一個(gè)角度講，實(shí)變函數(shù)論的習(xí)題幾乎全是證明題，而定理、引理、推論的證明本身就是一些典型的，帶證明示范性的例子。93.學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)與泛函》的方法（三）由于《實(shí)變函數(shù)與泛函》高度抽象、理論性強(qiáng)，對(duì)于每一個(gè)尚未證明的結(jié)論都應(yīng)持謹(jǐn)慎態(tài)度，不能簡(jiǎn)單類比后就盲目承認(rèn)和

5、否定，必須嚴(yán)格論證或舉出反例，否則就有可能出現(xiàn)例１、例２類似的錯(cuò)誤。103.學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)與泛函的方法（二）盡管憑直觀想象可能會(huì)出現(xiàn)例1、例2那樣“似是而非，似非而是”的結(jié)論，但不能因噎廢食，在每一個(gè)定理、引理、推論的證明之前都應(yīng)盡量想象其合理的直觀意義。直觀解釋雖然不能代替嚴(yán)格的論證，卻會(huì)給我們的證明帶來開闊思路的啟迪，直觀想象永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)各分支發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、揭示規(guī)律、猜測(cè)命題的重要依據(jù)和行之有效的手段之一。114.學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論的方法（四）既然《實(shí)變函數(shù)與泛函》是《數(shù)學(xué)分析》研究范圍、內(nèi)容的擴(kuò)展，研究結(jié)果的改進(jìn)和完善，新舊知識(shí)之間就難免存在

6、諸多內(nèi)在聯(lián)系，及時(shí)復(fù)習(xí)相關(guān)舊知識(shí)以達(dá)溫故而知新的目的，注重體會(huì)如何借鑒舊方法來解決新問題的思路，同時(shí)特別注意新方法與舊方法實(shí)質(zhì)區(qū)別之處，把握創(chuàng)新點(diǎn)。12