實變函數(shù)與泛函分析答案

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1、山東農(nóng)業(yè)大學數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)考試必備?。∫?、5．設(shè)為集列，，證明（i）互相正交（ii）證明：（i）；不妨設(shè)n>m，因為，又因為，所以，故，從而相互正交.（ii）因為，有，所以，現(xiàn)在來證：當n=1時，；當時，有：則事實上，，則使得，令則，其中，當時，，從而，6．設(shè)是定義于E上的實函數(shù)，a為常數(shù)，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，，使即故所以故1210．證明：中坐標為有理數(shù)的點是可數(shù)的。證明：設(shè)Q為有理數(shù)集，由定理6：Q是可數(shù)的。現(xiàn)在證：可數(shù)，因為是可數(shù)個有理數(shù)集的并，故可數(shù)，又因為并且，所以可數(shù)故可數(shù)14．證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明：設(shè)

2、Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因為，所以，故A是Q上一切有限子集的全體。27.試用Borel有限覆蓋定理證明：Bolzano-Weiestyass定理（P24定理4，若是是一個有界無窮點集，則）.證明：設(shè)是中的有界無窮點集，如果，則，，使得，則.由Borel有限覆蓋定理，，有，從而===，這與為無窮集矛盾，從而.29.可數(shù)個開集的交稱為型集，可數(shù)個閉集的并稱為型集.證明：有理數(shù)集不是型集，但是型集.證明：設(shè)為中全體有理數(shù)所構(gòu)成的集合.如果是型集，即，12其中是開集，由開集的結(jié)構(gòu)，，，其中是互不相交的開區(qū)間.不是一般性，設(shè)這是，必有

3、（1）事實上，如果，即為有理數(shù)，.因為，，故，這與矛盾.(2),如果，.則.因此，，有.這有：這是一矛盾.(3).事實上，若，則為有限實數(shù)，，使得，，故，這也是一矛盾.為可數(shù)集，這與矛盾.因為在中單點集是閉集，所以，令，則為閉集，所以，故為型集.31.假設(shè)，且對任意，存在的一個-領(lǐng)域，使得最多只有可數(shù)個點，證明：必有有限級或可列集.證明：因為，使得是一個至多可數(shù)集，而由24題，使得：12又.即至多可數(shù).二、2.證明：若是有界集，則.證明：若是有界.則常數(shù)，使，有，即，有，從而.所以3.至少含有一個內(nèi)點的集合的外測度能否為零？解：不能.事實上，設(shè)，中有一個內(nèi)點.,

4、使得.則所以.7.證明：對任意可測集，下式恒成立..證明：且故.即又因為.且，所以故，從而9.設(shè)，，是中的兩個可測集，且，證明：12證：=.所以又因為===+].所以=因為.所以.11.設(shè)是中的不可測集，是中的零測集，證明：不可測.證明：若可測.因為，所以.即.故可測.從而可測，這與不可測矛盾.故不可測.12.若是中的零測集，若閉集是否也是零測集.解：不一定，例如：是中的有理數(shù)的全體..,但.13.證明：若是可測集，則，存在型集，型集，使，證明：由P51的定理2，對于，存在型集，使得.由得可測性，.則..即，.12再由定理3，有型集使得.且三、2.設(shè)是上的函數(shù)，

5、證明：在上的可測當且僅當對一切有理數(shù)，是可測集.證：，取單調(diào)遞減的有理數(shù)序列使得，則.由每個}的可測性，知可測.從而，在上的可測.設(shè)在上的可測，即，可測.特別地，當時有理數(shù)時，可測.4.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：在上可測.證明：，因為在上可測.所以是可列集.即可測.從而在上可測.7.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：（i）對上的任意開集，是可測集；(ii)對中的任何開集，是可測集；（iii）對中的任何型集或型集，是可測集.證：（i）當時中有界開集時，由第一章定理11（P.30），是至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并，即.由在上哦可測性，知：每個可測，從而可測.若是的誤解開集，，

6、記，則是中有界開集，且，故.故由得可測性，知可測.(ii)設(shè)是中的任一閉集，記是中開集.=12，即.由與得可測性，知，可測.（iii）設(shè)，分別為中型集和型集.即，存在開集列，閉集列使得，從而，且.由與的可測性，知與均可測.14.設(shè),是上的兩個可測函數(shù)序列，且，，都是上的有限函數(shù)證明：（i）是上可測函數(shù)（ii）對于任意實數(shù)，，證明：（i）因為，是可測函數(shù)列，由定理，有一個子列，使得.再由P62性質(zhì)4，是在可測，同理，在可測.（ii）先證：當時，，有.事實上，當時，，.所以.當時，因為，故.從而.再證：.事實上，，.12.所以：.四、1．設(shè)是上的可積函數(shù)，如果對于上

7、的任意可測子集，有，試證：，證明：因為，而，.由已知，.又因為，所以，.故,,從而.即，，.2.設(shè)，都是上的非負可測函數(shù)，并且對任意常數(shù)，都有，試證：，從而，.證明：我們證，是同一個簡單函數(shù)序列的極限函數(shù).及，令，并且12.則是互不相交的可測集，并且，定義簡單函數(shù).下面證明：，.,若，則，，所以，即；若，則可取正整數(shù)，時,.故，存在，.即，，.所以，，從而，.同理，，定義簡單函數(shù)列，其中：，..同上一樣可證明：，.因為，有.故，.從而，，有.即，，.因此.3.若，計算.12解：設(shè)為有理數(shù)，，則.5.設(shè)，都是上的可積函數(shù)，試證明：也是上可積函數(shù).證明：（1）先證：

8、設(shè)與都是上的可測函數(shù)且，