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《實(shí)變函數(shù)與泛函分析44》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四節(jié)可測函數(shù)結(jié)構(gòu)第四章可測函數(shù)可測函數(shù)簡單函數(shù)是可測函數(shù)可測函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限（當(dāng)可測函數(shù)有界時，可作到一致收斂）問：可測函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限？可測集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測函數(shù)魯津定理實(shí)變函數(shù)的三條原理（J.E.Littlewood）（1）任一可測集差不多就是開集（至多可數(shù)個開區(qū)間的并）設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則使得m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)。（去掉一小測度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù)）即：可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù)（3）任一點(diǎn)點(diǎn)收斂的可測函數(shù)列集差不多就是一致收斂列（2
2、）任一可測函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù)魯津定理的證明證明：由于mE[
3、f
4、=+∞]=0，故不妨令f(x)為有限函數(shù)(1)當(dāng)f(x)為簡單函數(shù)時，當(dāng)x∈Ei時，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在上連續(xù)顯然F為閉集，且有對f(x)在F連續(xù)的說明若f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，則f(x)在上連續(xù)故對任意x`∈O(x,δ)∩F，有
5、f(x`)-f(x)
6、=0，故f連續(xù)Fi0()x證明：任取則存在i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，又Fi為兩兩不交閉集，從而x在開集中所以存在δ>0,使得
7、對f(x)在F連續(xù)的說明說明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，從而可取x∈Fi足夠小的鄰域不含其他Fi中的點(diǎn)函數(shù)在每一塊上為常值，故在每一塊上都連續(xù)，但函數(shù)在R上處處不連續(xù)條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：魯津定理的證明(2)當(dāng)f(x)為有界可測函數(shù)時，存在簡單函數(shù)列{φn(x)}在E上一致收斂于f(x)，由{φn(x)}在F連續(xù)及一致收斂于f(x)，易知f(x)在閉集F上連續(xù)。利用(1)的結(jié)果知魯津定理的證明則g(x)為有界可測函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果（連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉）(3)當(dāng)f(x)為一
8、般可測函數(shù)時，作變換注：(1)魯津定理推論魯津定理（限制定義域）（即：去掉某個小測度集，在留下的集合上連續(xù)）（在某個小測度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù)）若f(x)為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（對n維空間也成立）則及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)開集的余集是閉集閉集的余集是開集aibi直線上的開集構(gòu)造直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并魯津定理推論證明的說明魯津定理：設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則使得m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)例對E=
9、R1上的a.e.有限的可測函數(shù)f(x)，一定存在E上的連續(xù)函數(shù)列{fi(x)}使fi(x)→f(x)a.e.于E從而令，即得我們所要的結(jié)果。證明：由魯津定理的推論知再由Riesz定理，存在{gn(x)}的子列{gni(x)}使gni(x)→f(x)a.e.于E，對上例的說明（只能作到幾乎處處收斂）：說明：若fn→f于R，fn連續(xù)，則f的連續(xù)點(diǎn)集是R的稠密集（參見：實(shí)變函數(shù)，周民強(qiáng)，p-43）魯津定理的結(jié)論m(E-F)<ε不能加強(qiáng)到m(E-F)=0（參見：實(shí)變函數(shù)，周民強(qiáng)，p-116）雖然我們有但不存在R上的連續(xù)函數(shù)列fn使得fn→
10、f于E設(shè)f(x)是E上a.e.有限的實(shí)函數(shù)，對δ>0，存在閉集，使且f(x)在上連續(xù)， 則f(x)是E上的可測函數(shù)注：此結(jié)論即為魯津定理的逆定理從而f(x)在上可測，進(jìn)一步f(x)在上可測。證明：由條件知，，存在閉集使且f(x)在En連續(xù)，當(dāng)然f(x)在En上可測，
