實變函數(shù)與泛函分析答案

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1、試卷一（參考答案及評分標準）一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．2、；；3、4、充要5、成一有界數(shù)集。三、1．錯誤……………………………………………………2分例如：設是上有理點全體，則和都在中稠密………………………..5分2．錯誤…………………………………………………………2分例如：設是集，則，但c，故其為不可數(shù)集……………………….5分3．錯誤…………………………………………………………2分例如：設是上的不可測集，則是上的可測函數(shù)，但不是上的可測函數(shù)………………………………………………………………..

2、5分4．錯誤…………………………………………………………2分…5分四、1．在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集………………………………………..3分因為是有界可測函數(shù)，在上是可積的…6分因為與相等，進一步，…8分2．解：設，則易知當時，…………………………..2分又因，()，所以當時，………………4分從而使得…………………………………6分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有…………………………………8分五、1．設…………………………2分……………………………….3分…………..5分………

3、………………………………………6分2．……….2分………………………………………….3分…………………………………………………………5分…………………………………………………….6分3.對，，使對任意互不相交的有限個當時，有………………2分將等分，使，對，有，所以在上是有界變差函數(shù)……………………………….5分所以從而，因此，是上的有界變差函數(shù)…………………………………………………………..6分4、在上可積……2分據(jù)積分的絕對連續(xù)性，，有………………………………………………….4分對上述，從而，即……………

4、……6分5．存在閉集在連續(xù)………………………………………………………………2分令，則在連續(xù)…………………………………………………………4分又對任意,…………………………………………….6分故在連續(xù)…………………………..8分又所以是上的可測函數(shù)，從而是上的可測函數(shù)………………………………………………………..10分