第三講 行列式按行按列展開

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1、教學內(nèi)容課堂組織單位：理學院應用數(shù)學物理系計算數(shù)學教研室批準：日期：年月日任課教員：劉靜班次上課日期節(jié)次上課時數(shù)累計時數(shù)教學場所06級電子信息3班07.09.213~42620#B10206級合訓7、8班07.11.193~426236課程名稱：線性代數(shù)章節(jié)名稱：第一章行列式課題：第三講行列式按行按列展開目的、要求：1.行列式的按行按列展開法則；2.掌握行列式的計算方法。難點、重點：行列式按行按列展開法則及其應用。器材設備：多媒體設備課前檢查序號題目學員姓名成績1行列式的定義2行列式的6條重要性質(zhì)-8-教學內(nèi)容課堂組織-8-教學內(nèi)容課堂

2、組織教學內(nèi)容、方法、步驟教學內(nèi)容：本講主要介紹：1.行列式的按行（列）展開法則；2.掌握行列式的計算方法。教學方法與思路：1.首先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2.對于三階行列式，容易驗證：可見一個三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個二階行列式的計算。由此容易想到：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n－1階行列式來計算？3.給出一個特殊的n階行列式的計算方法，從而給出一個引理；4.進而介紹行列式的按行（列）展開法則。教學中運用多媒體手段，講解、板書與教學課件相結(jié)合，以講解為主。教學步驟：1.介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（

3、列）展開法則；4.應用舉例。5.小結(jié)并布置作業(yè)。-8-教學內(nèi)容課堂組織§6行列式按行按列展開一、行列式的按行按列展開法則以三階行列式為例，容易驗證：問題：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n－1階行列式來計算？對于高階行列式也有同樣的結(jié)論。1．余子式：在階行列式中，將元素所在的行與列的元素劃去，其余元素按照原來的相對位置構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記作．2．代數(shù)余子式：元素的代數(shù)余子式．3.引理：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即　?。@里首先舉一個實例說明其含義。(見多媒

4、體)給出證明(見多媒體)。定理3板書標題于中央12min一般說來，低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便，行列式的按行（按列）展開則可以實現(xiàn)將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式，這正是研究該問題的主要目的。注：行列式的每個元素都分別對應著一個余子式和一個代數(shù)余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展開定理．-8-教學內(nèi)容課堂組織證明：1）假定行列式D的第一行除外都是0，即由行列式定義，D中僅含下面形式的項其中恰是的一般項，所以2）設D的第i行除了外都是0，即把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行，……，第2行，第1行進行交換；再將第列與

5、第列，第列，……，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過次交換行與交換列的步驟。由性質(zhì)2，行列式互換兩行（列）行列式變號，得在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個n階行列式換成n個（n－1）階行列式的計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。把D轉(zhuǎn)化為1)的情形利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去

6、，直到化為三階或二階行列式。-8-教學內(nèi)容課堂組織3）一般情形證畢。定理４：行列式的任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式的乘積之各為零，即　　　。證明：由定理３知，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素，則8min-8-教學內(nèi)容課堂組織右端的行列式含有兩個相同的行，值為0。綜上，得公式二、應用舉例例5:計算行列式。解：例6計算n階行列式課間休息6min10min-8-教學內(nèi)容課堂組織解：將按第一行展開，得遞推公式改寫為而，，于是有，整理得將上述等式兩

7、端分別乘以，然后再相加，得到即得，整理得例7證明范得蒙行列式10min-8-教學內(nèi)容課堂組織證明：用數(shù)學歸納法證。(1)當n=2時,(2)設n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。上式右端的行列式是一階范得蒙行列式，故原式證畢。例8計算Dn=det(aij),其中。解：8min-8-教學內(nèi)容課堂組織例9，求第一行各元素的代數(shù)余子式之和8min-8-教學內(nèi)容課堂組織解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成小結(jié)：本講介紹了：1.介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展開法則；4.應用舉例。3min作業(yè)：習題冊上

8、同步習題-8-