第三講 行列式按行按列展開

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1、教學(xué)內(nèi)容課堂組織單位：理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)物理系計(jì)算數(shù)學(xué)教研室批準(zhǔn)：日期：年月日任課教員：劉靜班次上課日期節(jié)次上課時(shí)數(shù)累計(jì)時(shí)數(shù)教學(xué)場所06級電子信息3班07.09.213~42620#B10206級合訓(xùn)7、8班07.11.193~426236課程名稱：線性代數(shù)章節(jié)名稱：第一章行列式課題：第三講行列式按行按列展開目的、要求：1.行列式的按行按列展開法則；2.掌握行列式的計(jì)算方法。難點(diǎn)、重點(diǎn)：行列式按行按列展開法則及其應(yīng)用。器材設(shè)備：多媒體設(shè)備課前檢查序號(hào)題目學(xué)員姓名成績1行列式的定義2行列式的6條重要性質(zhì)-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織教學(xué)內(nèi)容、方法、步驟教學(xué)內(nèi)容：本講主要介紹：1

2、.行列式的按行（列）展開法則；2.掌握行列式的計(jì)算方法。教學(xué)方法與思路：1.首先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2.對于三階行列式，容易驗(yàn)證：可見一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。由此容易想到：一個(gè)n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n－1階行列式來計(jì)算？3.給出一個(gè)特殊的n階行列式的計(jì)算方法，從而給出一個(gè)引理；4.進(jìn)而介紹行列式的按行（列）展開法則。教學(xué)中運(yùn)用多媒體手段，講解、板書與教學(xué)課件相結(jié)合，以講解為主。教學(xué)步驟：1.介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展開法則；4.應(yīng)用舉例。5.小結(jié)并布置作業(yè)。-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織§6行列式按行按列展開一、行列

3、式的按行按列展開法則以三階行列式為例，容易驗(yàn)證：問題：一個(gè)n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n－1階行列式來計(jì)算？對于高階行列式也有同樣的結(jié)論。1．余子式：在階行列式中，將元素所在的行與列的元素劃去，其余元素按照原來的相對位置構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記作．2．代數(shù)余子式：元素的代數(shù)余子式．3.引理：一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即　?。@里首先舉一個(gè)實(shí)例說明其含義。(見多媒體)給出證明(見多媒體)。定理3板書標(biāo)題于中央12min一般說來，低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡便，行列式的按行（按列）展開則可以實(shí)現(xiàn)將高階行

4、列式轉(zhuǎn)化為低階行列式，這正是研究該問題的主要目的。注：行列式的每個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展開定理．-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織證明：1）假定行列式D的第一行除外都是0，即由行列式定義，D中僅含下面形式的項(xiàng)其中恰是的一般項(xiàng)，所以2）設(shè)D的第i行除了外都是0，即把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行，……，第2行，第1行進(jìn)行交換；再將第列與第列，第列，……，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過次交換行與交換列的步驟。由性質(zhì)2，行列式互換兩行（列）行列式變號(hào)，得在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成

5、n個(gè)（n－1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。把D轉(zhuǎn)化為1)的情形利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織3）一般情形證畢。定理４：行列式的任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之各為零，即　　　。證明：由定理３知，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中，如果令第

6、i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素，則8min-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為0。綜上，得公式二、應(yīng)用舉例例5:計(jì)算行列式。解：例6計(jì)算n階行列式課間休息6min10min-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織解：將按第一行展開，得遞推公式改寫為而，，于是有，整理得將上述等式兩端分別乘以，然后再相加，得到即得，整理得例7證明范得蒙行列式10min-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織證明：用數(shù)學(xué)歸納法證。(1)當(dāng)n=2時(shí),(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。上式右端的行列式是一階范得蒙行列式，故原式證畢。例8計(jì)算Dn=det(aij),其中。解：8min-8-教學(xué)內(nèi)容課堂

7、組織例9，求第一行各元素的代數(shù)余子式之和8min-8-教學(xué)內(nèi)容課堂組織解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成小結(jié)：本講介紹了：1.介紹余子式和代數(shù)余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展開法則；4.應(yīng)用舉例。3min作業(yè)：習(xí)題冊上同步習(xí)題-8-