橢圓中的最值問題與定點(diǎn)、定值問題.doc

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1、.....橢圓中的最值問題與定點(diǎn)、定值問題解決與橢圓有關(guān)的最值問題的常用方法（1）利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理；（2）利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征進(jìn)而求解；（3）利用函數(shù)最值得探求方法，將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來(lái)處理，此時(shí)應(yīng)注意橢圓中x、y的取值范圍；（4）利用三角替代（換元法）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題處理。一、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值問題橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)重合時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)取得最大值a+c（遠(yuǎn)日點(diǎn)）、最小值a-c（近日點(diǎn)）。推導(dǎo)

2、：設(shè)點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，由得，將其代入并化簡(jiǎn)得。所以，當(dāng)點(diǎn)為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)為長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)重合時(shí)。。當(dāng)焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)時(shí)，可類似推出。BAOxy1.（2015浙江卷）如圖，已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。解：（1）由題意知，可設(shè)直線AB的方程為。聯(lián)立，消去，得。因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以。-------①設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，則，可編輯.....所以。將線段AB的中點(diǎn)代入直線，解得。------

3、②由①②得。(2)令，則=，且O到直線AB的距離為。設(shè)的面積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。故面積的最大值為。2.已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程.解　(1)由　得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x

4、2＝(m2－1)，所以

5、AB

6、＝可編輯.....＝＝＝＝.所以當(dāng)m＝0時(shí)，

7、AB

8、最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為y＝x.反思與感悟　解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等.解決這類問題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條件.跟蹤訓(xùn)練2　如圖，點(diǎn)A是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸位于y軸下

9、方的端點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為1的直線交橢圓于點(diǎn)B，若P在y軸上，且BP∥x軸，·＝9.(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，t)，求t的取值范圍.解　∵直線AB的斜率為1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，

10、

11、＝

12、

13、.∵·＝9，∴

14、

15、

16、

17、cos45°＝

18、

19、2cos45°＝9，∴

20、

21、＝3.(1)∵P(0,1)，∴

22、

23、＝1，

24、

25、＝2，即b＝2，且B(3,1).∵B在橢圓上，∴＋＝1，得a2＝12，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.可編輯.....(2)由點(diǎn)

26、P的坐標(biāo)為(0，t)及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，t)，將它代入橢圓方程得：＋＝1，解得a2＝.∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.∴>1，即－1＝>0，∴所求t的取值范圍是0

27、在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程，由已知得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。(2)設(shè)，聯(lián)立得，則由題意得，即，且，可編輯.....又==，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為D以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，即，，，化簡(jiǎn)整理得，解得,且均滿足。當(dāng)時(shí)。的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)。所以直

28、線過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為。1.若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2.若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3.花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來(lái)了。4.歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情