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《橢圓中的最值問題與定點、定值問題.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、???????????????????????料推薦???????????????????橢圓中的最值問題與定點、定值問題解決與橢圓有關(guān)的最值問題的常用方法（1）利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理；（2）利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達式的幾何特征進而求解；（3）利用函數(shù)最值得探求方法，將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來處理，此時應(yīng)注意橢圓中x、y的取值范圍；（4）利用三角替代（換元法）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題處理。一、橢圓上一動點與焦點的距離的最值問題橢圓上一動點與焦點的距離稱為焦半徑，橢圓上一動點與長軸的兩端點重合時，動點與焦點取得最大值a+c（遠日點）、最小值a-c（近日點）。推導(dǎo)：設(shè)點(,)為橢圓x
2、2y2上的任意一點，左焦點為(,0)，Px0y0a2b21(ab0)F1c
3、PF1
4、(x0c)22，由x02y021得y02(1x02y0a22ba2)，將其代入b
5、PF1
6、(x0c)2y02并化簡得
7、PF1
8、cx0a。所以，當(dāng)點P(x0,y0)為長軸的右端點caaA2(a,0)重合時，
9、PF1
10、maxaca；當(dāng)點P(x0,y0)為長軸的左端點A1(a,0)重a合時。
11、PF1
12、minc(a)aac。當(dāng)焦點為右焦點F2(c,0)時，可類似推出。a1.（2015浙江卷）如圖，已知橢圓x2y21上兩個y2不同的點A、B關(guān)于直線ymx1對稱。O2（1）求實數(shù)m的取值范圍；AB（2）求AOB面積的最大值
13、（O為坐標(biāo)原點）。解：（1）由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為y1xb。mx2y21，消y去，得(11)x22bxb21聯(lián)立210。yxb2m2mm因為直線y1xb與橢圓x2y21有兩個不同的交點，m2所以2b2240。-------①m24mb設(shè)(,y1),(,y2)，線段AB的中點M(xM,yM)，則x1Ax1Bx2x2，m22x1???????????????????????料推薦???????????????????xMx1x22mb2mb,2所以2m222。將線段AB的中點M(mb)代入直線yM1xMbmbm22m22mm22ymx1，解得bm22。------②22m2由①②得m
14、6或m6。33(2)令t1(6,0)(0,6)，m221(1)22t42t23則
15、AB
16、(x1x2)24x1x2=t2112，mt22t21且O到直線AB的距離為dt22。1設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)1
17、AB
18、d12(t21)222，2222當(dāng)且僅當(dāng)t21時，等號成立。故AOB面積的最大值為2。222.已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.解(1)由4x2＋y2＝1，得22，5x＋2mx＋m－1＝0y＝x＋m因為直線與橢圓有公共點，所以22，解得－55＝4m－20(m－1)≥02≤m≤2
19、.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，x1＋x2＝－2m12－1)，所以5，x1x2＝5(m2???????????????????????料推薦???????????????????所以
20、AB
21、＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝4m2421＝222m510－8m.255所以當(dāng)m＝0時，
22、AB
23、最大，即被橢圓截得的弦最長，此時直線方程為y＝x.反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等.解決這類問題需要正確
24、地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件.x2y2跟蹤訓(xùn)練2如圖，點A是橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)的短軸位于y軸下方的端點，過點A且斜率為1的直線交橢圓于點B，若P在y軸上，且→→BP∥x軸，AB·AP＝9.(1)若點P的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點P的坐標(biāo)為(0，t)，求t的取值范圍.解∵直線AB的斜率為1，∴∠BAP＝45°，→→即△BAP是等腰直角三角形，
25、AB＝2
26、AP
27、.
28、→→＝9，∵AB·AP→→＝°→2＝°，∴
29、AB2
30、AP
31、cos45
32、
33、
34、AP
35、cos459→∴
36、AP＝3.
37、→→(1)∵P(0,1)，∴
38、OP
39、＝1，
40、OA
41、＝2，即b＝2，且B(3,1).912∵B在橢圓上，∴a2＋4＝1，得a＝12，22∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x＋y＝1.124(2)由點P的坐標(biāo)為(0，t)及點A位于x軸下方，得點A的坐標(biāo)為(0，t－3)，3???????????????????????料推薦???????????????????∴t－3＝－b，即
