橢圓中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題.doc

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1、解析幾何中的橢圓是高考中的熱點(diǎn)，常見(jiàn)的有求最值、過(guò)定點(diǎn)、定值等，這類題型中以直線與橢圓相交為基本模型，處理問(wèn)題的方法可以是設(shè)直線，運(yùn)用韋達(dá)定理求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，過(guò)橢圓上一點(diǎn)的直線與橢圓相交是可以解出另一個(gè)交點(diǎn)的，而過(guò)橢圓外一點(diǎn)的直線與橢圓相交只能找到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，不適宜解，再運(yùn)用題目中的條件整體化簡(jiǎn)。也可以是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)在橢圓上或直線上整體代入化簡(jiǎn)，到底設(shè)什么需要根據(jù)題目的條件，因題而異。例1、（2017鹽城高三三模18）已知、分別是橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)

2、，.（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形（點(diǎn)在第一象限），求直線與的斜率之積；（3）記圓為橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”.若，過(guò)點(diǎn)作橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線，切點(diǎn)為、，直線的橫、縱截距分別為、，求證：為定值.學(xué)科*網(wǎng)解：（1）由軸，知，代入橢圓的方程，得，解得.又，所以，解得.（2）因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以且軸，所以，代入橢圓的方程，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，同理可得，所以，由（1）知，得，所以.（3）由（1）知，又，解得，所以橢圓方程為，圓的方程為①.連接，由題意可知，

3、，，所以四邊形的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)，則四邊形的外接圓方程為，即　?、?（注：以為直徑的圓的方程可以直接寫出）由①－②，得直線的方程為，令，則；令，則.所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以.例2、（2018蘇錫常鎮(zhèn)高三二模）如圖，橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，點(diǎn)，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．NDMCBAyxO（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線的方程；（3）求證：為定值．解：（1）由橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為

4、1.得解得所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）設(shè)D坐標(biāo)為(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程得：解得,由，得直線BD的方程：①直線AC方程為②聯(lián)立①②得，即=2法2：設(shè)D坐標(biāo)為(x3，y3），由C,M,D三點(diǎn)共線得，所以①由B,D,N三點(diǎn)共線得，將代入可得②①和②相乘得，.例3、（2018蘇北四市高三一模18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，連接分別交橢圓于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值；

5、（3）設(shè)直線，的斜率分別為，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：解得：，所以橢圓方程為：（2）若，由橢圓對(duì)稱性，知，所以，此時(shí)直線方程為由，得，解得（舍去）故（3）設(shè)，則，直線的方程為，代入橢圓方程，得　　　　　，因?yàn)槭窃摲匠痰囊粋€(gè)解，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又在直線上，所以，同理，點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即存在，使得．例4、（2016泰州高三期末19）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，橢圓，為橢圓右頂點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與

6、圓的另一交點(diǎn)為，直線與圓的另一交點(diǎn)為，其中．設(shè)直線的斜率分別為．（1）求的值；（2）記直線的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）求證：直線必過(guò)點(diǎn)．解：（1）設(shè)，則，所以．（2）聯(lián)立得，解得，聯(lián)立得，解得，所以，，所以，故存在常數(shù)，使得．法二：設(shè)直線方程：與圓聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理解出坐標(biāo)，證明在直線上，即可說(shuō)明必過(guò)點(diǎn)（請(qǐng)同學(xué)們自己去嘗試）注：對(duì)于任意的橢圓，過(guò)原點(diǎn)的任意一直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓上任意一動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)直線斜率都存在，則有證明：設(shè),則，，因?yàn)樵跈E

7、圓上所以①，②由①-②得，化簡(jiǎn)得例5、（2017蘇錫常鎮(zhèn)高三一模18）已知橢圓右頂點(diǎn)為.過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)求證：直線的斜率之和為定值.分析：法一：先考慮過(guò)的直線斜率不存在滿不滿足題意。若存在設(shè)直線方程，將直線與橢圓聯(lián)立方程組消去得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程。設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之和，兩根之積。運(yùn)用的坐標(biāo)表達(dá)的斜率，化簡(jiǎn)得出結(jié)果。法二：設(shè)過(guò)的直線，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，將直線與橢圓聯(lián)立方程組根據(jù)韋達(dá)定理解出的坐標(biāo)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可以用斜率相等或者向量共線得到的關(guān)系，進(jìn)而得到答案。解：法一

8、：，當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)不符合題意。設(shè)過(guò)的直線方程：由得法二：，設(shè)過(guò)的直線，分別與橢圓交于兩點(diǎn)，由得解得代入直線解得同理可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以化簡(jiǎn)得：，即因?yàn)槭莾蓚€(gè)不同的點(diǎn)，所以，所以，即直線，的斜率之和為定值，定值為鞏固練習(xí)：·lTPOyxQ1、（2017南京鹽城高三一模17）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，記直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的值.B1B2PQOPxy2、（2018蘇北六市二模17）